AP微积分考前终极嘱咐

今年的AP微积分考试，近在眼前。许多说明和注意事项，包括常考及重难点考点的梳理、说明，周叔都在下面链接的这篇里嘱咐过了。还没看的同学，真的有必要花点点时间读一读它：

AP微积分考前必读｜2025

本篇说两件事：关于AP考试作弊的事情；微积分AB、微积分BC的自由问答题，周叔觉得大概会考哪些问题。

关于考试作弊以及公不公平的问题

在那篇《考前必读》中，我表达过一些看法了。昨天我还看到有自媒体在吐槽AP机考，说“更不公平了，害了更多老实学生”，“今年的AP大考玩得太脏了”。我个人觉得这种内容主要是发泄情绪，以及为了吸引关注。

我再表达一些我的看法，希望为同学们带来一点慰藉和力量。

1. AP机考的目的主要是尽量防止作弊，但系统目前肯定是还有漏洞。有人能通过技术手段提前几小时看到题，也可能是利用了不同考区的时差——北美和亚太的卷子肯定是不一样的，但比如新西兰和中国的试卷呢？

值得老实学生们庆幸的是：今年一些AP科目的真题，好歹是考前几个小时才在网上出现，不够提前准备好答案。同时，拿到题的人做的“参考答案”，往往有很多错误，“答案”不靠谱，光背下题目没什么意义。

2. 个别考生可能找人替考——通过远程控制自己的电脑。这种情况，十有八九会被监考老师发现，得不偿失。老实学生不用气愤。

3. 个别考场的网络出现问题，考生不能及时连上网络。这种情况，肯定是由于考试承办方Prometric的工作，做得不够好而出现的，但我们光去埋怨也解决不了问题，目前的条件就是这样。

世界上很多很多事情，都让人感觉背后的组织如同草台班子，何况一个小小的AP考试呢。同学们可以备上5G手机，必要的时候拿出来连个人热点——虽然正常来讲，考场不允许带手机进去，但万一你所在的考场真的连不上网络，到时候你可以去跟监考老师申请嘛。

“老师，我很着急考试，我能不能用我的手机热点啊？我爸手机放在座位下面，并且静音，您看可以吗？”

成长的过程不就是不断学会解决问题吗。

4. 如果你所在的考场比较嘈杂，你可以站出来充当秩序维护者。“麻烦老师管一下”，“还请同学们安静下来，我们好好考试吧”。

有的考场允许学生带手机进去了？无所谓，别开声音、打电话吵到你就行。监考老师又不是稻草人。有学生拿手机发消息问老师、作弊？无所谓，有那功夫，考试时间早就到了。

5. 考试系统崩了？概率不大。如果你的那科考试真这样，那你肯定跟官方申请补考。

此外，无非就是自己带的电脑或者Pad记得充好电，并且Pad的话要注意有物理键盘。记得带上可以给你电脑或者Pad充电的充电宝，满格电的大宝！一个怕不够，带俩！咱买得起充电宝。

没有绝对完美的条件，也没有绝对的公平。如果自己不能决定外部条件，那就先把自己该做的、能做的事情做好。

微积分AB的自由问答题

特此说明：我用我的业内口碑保证，我在北京时间5月12日中午之前，都不会知道今年AP微积分考试的，任何一套试卷的任何一道考题。以下仅出于我的经验总结，不一定准确，仅供同学们适当参考。

第1题，一般都是已知一个东西变化的rate所满足的函数关系，然后设置的问题一般有：

1）用函数在某个区间的平均变化速度，去估算函数在某点的导数，注意rate的导数的单位，比如：

2）计算函数在一个区间的平均值。

可能很多时候是让你用黎曼和或者梯形和估算。3）变化速度在一个区间的定积分，结果代表这个东西在这个区间的变化量。4）增减与导数的关系。5）已知函数的导数或者变化的rate，且已知函数在某点的结果，求函数在另一点的结果，要想到牛顿-莱布尼茨公式。

6）求函数在一个闭区间的最大值或者最小值。一道大题包括3至4问，第一道大题一般是从以上提问方式中选取4问。

第2题，一般是直线运动，问的问题一般是：

1）velocity与运动方向的问题；

2）peed在某个时候是在递增还是在递减；求物体在一段时间里走过的distance；

3）求物体在一段时间内的位移，或者两个时刻的position之间的distance（位移的绝对值）；

4）已知物体的velocity所满足的函数关系或者图像，以及已知物体在某个时刻的position，求在另外一个时刻物体的position。有的时候让你说明position一定会有某个结果，那是在这种问法的基础上要再结合介值定理（IVT）。

第3题，一般是微分方程的题，问的大体是：有个斜率场，画一下经过某点的solution；写出函数在某点的切线，利用其去估算函数在另一点的结果；算二次导数，并且判断刚刚的估算是估大了还是估小了；可能还会让你判断一下，某个满足此微分方程的函数，在某点是得到了relative maximum还是relatiove minimum，此时，一般是用二阶导数判断法；solve出满足这个微分方程且满足某个初始条件的函数。

第4题，一般是已知一个函数的图像，然后题目中一般会给一个变上限积分函数，这就相对于已知了导数。

一般是考查：微积分第一基础定理，定积分的几何意义，导数的几何意义，函数的增减与其一次导数的关系，函数的concavity与其二次导数的关系，计算函数的相对最大/最小值——一节导数判断法或二阶导数判断法都有可能，计算函数在一个区间的absolute maximum/minimum。

有时候这种背景的题可能还会有一问是考极限的计算，一般这个时候是用洛必达法则。不给变上限积分函数的话，就会是已知一个函数的导数，逻辑也差不多。

第5题，基本是考定积分的几何应用：算一个区域的面积：算一个旋转物体的体积；已知一个物体的base，且知道每个垂直于x轴或者y轴的cross-section是什么形状的，求这个物体的体积。可能有的时候还会问什么到x轴的距离（就是y坐标的绝对值），在增还是减，或者算一下其最大或最小值。

第6题，一般是给一个方程关系（implicit），然后考查：

1）隐式方程算一次导数，算二次导数，这种时候千万不要跟没学过似的哈。

2）写出曲线在某点的切线的方程，可能再让你顺便估计一下在另一点的结果。

3）在哪点有水平的切线（导数的表达式里分子等于0且分母不等于0的时候），在哪点有竖直的切线（导数的表达式里分子不等于0且分母等于0的时候）。

4）可能让你根据所满足的那个方程关系，以及已知dx/dt在某点的结果，让你算在那一点dy/dt的结果。两边同时相对于t求导就好，像是related rate的问题。

第6题也可能是，直接给出一个函数的方程表达式，然后考查：写切线，算图像的渐近线，算函数的相对最值，算函数在一个区间的平均值（需要利用牛顿莱布尼茨公式，可能还需要利用换元积分法）等等，综合那些基础的微积分的计算知识。

微积分BC的自由问答题特此说明：我用我的业内口碑保证，我在北京时间5月12日中午之前，都不会知道今年AP微积分考试的，任何一套试卷的任何一道考题。

以下仅出于我的经验总结，不一定准确，仅供同学们适当参考。

第1题，一般都是已知一个东西变化的rate所满足的函数关系，然后设置的问题一般有：

1）用函数在某个区间的平均变化速度，去估算函数在某点的导数，注意rate的导数的单位，比如：

2）计算函数在一个区间的平均值

可能很多时候是让你用黎曼和或者梯形和进行估算。

3）变化速度在一个区间的定积分，结果代表这个东西在这个区间的变化量。

4）增减与导数的关系。这个时候看清楚是在问谁的递增递减。问数量的增减，就看rate的正负，问rate的增减，就看rate的rate（rate的导数）的正负。

5）已知函数的导数或者变化的rate，且已知函数在某点的结果，求函数在另一点的结果，要想到牛顿-莱布尼茨公式。

6）求函数在一个闭区间的最大值或者最小值。一道大题包括3至4问，第一道大题一般是从以上提问方式中选取4问。第2题，一般是曲线运动，已知速度向量，问的问题一般是：

1）某个时刻的加速度向量（acceleration vector）以及speed；

2）求物体在一段时间里走过的distance；

3）求物体的path在某点的tangent line的slope；

4）已知物体的velocity，以及已知物体在某个时刻的position，求在另外一个时刻物体的position。一般是两次使用牛顿-莱布尼茨公式，将postion的横坐标和纵坐标分别算出来。

5）可能有时候还会让你算一个最大值或者最小值（比如物体运动过程中，y坐标的最大值或者最小值）

第3题，一般是微分方程的题，问的大体是：有个斜率场，画一下经过某点的solution；写出函数在某点的切线，利用其去估算函数在另一点的结果；算二次导数，并且判断刚刚的估算是估大了还是估小了；可能有一问是考你欧拉方法（Euler's method）；可能还会让你判断一下，某个满足此微分方程的函数，在某点是得到了relative maximum还是relative minimum，此时，一般是用二阶导数判断法；solve出满足这个微分方程且满足某个初始条件的函数。

第4题，一般是已知一个函数的图像，然后题目中一般会给一个变上限积分函数，这就相对于已知了导数。

一般是考查：微积分第一基础定理，定积分的几何意义，导数的几何意义，函数的增减与其一次导数的关系，函数的concavity与其二次导数的关系，计算函数的相对最大/最小值——一阶导数判断法或二阶导数判断法都有可能，计算函数在一个区间的absolute maximum/minimum。

有时候这种背景的题可能还会有一问是考极限的计算，一般这个时候是用洛必达法则。不给变上限积分函数的话，就会是已知一个函数的导数，逻辑也差不多。

第5题，可能考定积分的几何应用：算一个区域的面积：算一个旋转物体的体积；已知一个物体的base，且知道每个垂直于x轴或者y轴的cross-section是什么形状的，求这个物体的体积。可能有的时候还会问什么到x轴的距离（就是y坐标的绝对值），在增还是减，或者算一下其最大或最小值。

也有可能是极坐标的背景，算曲线在某点的切线，算一个区域的面积，以及考查对极坐标这种坐标形式的定义的理解等等，比如，根据极坐标里的r代表到原点的距离，求某个极坐标函数的图像上的点到原点的平均距离之类的（参考2019年北美卷第2题）。

第5题也可能是综合题，比如考隐式方程的背景下，算一次导数、二次导数、相对最值等；比如在给定函数信息的背景下，写切线方程，算反常积分（improper integral），考u-sub或者by parts甚至partial fraction。

有的时候是已知函数的表达式，有的时候列表给出函数及一次导数甚至二次导数在某些点的结果。第6题，考查无穷级数（series），通常是设置这样的一些问题：

1）判断一个级数是否收敛（convergent），或者是绝对收敛还是条件收敛。

2）写出一个函数的泰勒级数或者几阶泰勒多项式。如果题目给了某个函数的泰勒级数，那会让你写出另外一个相关的函数的，泰勒级数或者几阶泰勒多项式。通过逐项求导，或者逐项求反导，或者替换，或者把两个函数的泰勒多项式去相乘，或者通过替换后再去每一项除掉一个幂函数。

3）利用函数的泰勒级数的结果，判断函数在a那点是得到了relative maximum还是minimum。a是指题目中现在是以谁为中心的泰勒级数。

4）算函数的泰勒级数（也是一个幂级数）的interval of convergence或者radius of convergence。

5）利用某阶泰勒多项式估算函数在某点的结果，然后让你证明error不超过多少，也就是计算误差边界：

今年更有可能出现的是交错级数的误差边界。

好了，就这些了。周叔这一季就送同学们到这里了。希望认真对待AP学习的同学都不会被辜负。

希望特别临时临时临时抱佛脚的同学，往后能吸取经验教训。希望人类从历史中唯一吸取到的经验教训，并不是没有吸取到任何经验教训。等待同学们7月初的好消息。