IB数学HL复数知识点分析

复数是IB数学HL中一个非常重要的考点,也是连接数、向量和平面的一个非常重要的桥梁,后面承接着复分析。在如此广袤的领域面前,如牛顿所言,“我们都只是在在海边玩耍的小孩”,在这里我尝试以IB数学的考纲为基准,从历史的角度出发,去拾取些许前人的“贝壳”,讲述复数的概念和由来。

IB数学:复数(1)——数系的发展

“Nine Zulu Queen Ruled China“,这样一句话看似毫无意义,但是首字母可以帮助我们记住五个数集N、Z、Q、R、C(在数学中会用镂空字母表示)。

这五个数集就像是层层嵌套的俄罗斯套娃,最里层是自然数N(natural number),是我们通常用来计数的数,但是自然数对减法是不封闭的(也就是说两个自然数相减我们不一定会得到另一个自然数,比如7减10)。

于是就有了零和负数,得到了我们的第二个“套娃”整数Z(来自德语“数”的单词“Zahl”),同样的道理,整数在除法中不封闭。

为了得到除法中封闭的数系,我们得到了有理数Q(来自英语单词“商”的单词“quotient”),有理数可以简单理解成是那些可以表示为两个整数的商的数,也就是所有的整数和分数。

毕达哥拉斯一度认为,“世界上只存在整数和分数"。但是他的学生希帕索斯却发现边长为”1“的正方形,它的对角线之长不能表示成两个整数之商,无理数的概念就此诞生。我们就需要另外一个”套娃“把无理数和有理数都包含到一起,也就是实数系R(Real number)。

在有理数中,加减乘除都是封闭的,但是开方却不是,实数解决了这个问题,但是却仅限于非负数,也就是说负数是没有平方根的。为了打破这个限制,就需要加入最后一个”套娃“,也就是复数系C(Complex number)。

要理解复数,先得理解虚数。我们把-1的平方根记作i,那么所有的负实数的平方根就构成了所有的纯虚数,比如。复数就是形如a+bi的数,它由两个部分组成,纯实数部分a和纯虚数部分bi,我们把a叫做实部,b叫做虚部。

所以我们在做运算的时候,也需要实部和虚部分开考虑,运算的过程更类似于一次二项式的加减乘除,只是需要注意。我们可以得到复数的四则运算规则如下:

IB数学:复数(1)——数系的发展

在除法运算中,需要借助共轭复数(complex conjugate)。我们把两个虚部符号相反的复数叫做共轭复数,如c+di和c-di。共轭复数在复数的运算中十分重要,通过共轭复数我们可以把复数的运算转为实数。这是因为两个共轭复数做加法会得到一个纯实数2c,做乘法(c+di)(c-di)也会得到一个纯实数。

我们知道,所有的实数都可以用数轴上的表示。复数是个二元数,所以所有的复数都可以用平面上的点来表示。在下一篇中我会详细介绍复平面和复数的另外两种形式。

IB数学:复数(1)——数系的发展

到此为止,我们就构建出了”数“的整个大厦。但是复数并不是我们对”数“探究的终点,在这之后还有“超复数”——哈密顿在19世纪发明了四元数的概念,把数的概念从二维又拓展到了四维。

从整数到实数,再到复数、四元数,数的概念从具体生活中慢慢脱离出来,进入抽象与思维的疆域。这无疑象征着人们对未知世界的开拓与向往,我想这也就是我们学习数学的意义所在。

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