在学生时代经常听到的一句话，“学好数理化，走遍天下都不怕”，数学是其他学科的基础，有一个数学背景，也成了理科生重要的加分项。对于理科是强项的国内学生来说，参加数学类竞赛是比较有利的选择，而其中AMC（American Mathematics Competitions）是很多学生的首选。
为什么推荐孩子考AMC？
AMC是什么？简单来说可以说是美国数学国家级、甚至是世界级的比赛：
·每年仅在北美地区正式登记参加比赛的学生就超过30万人次
·在全球与美国一起进行同步测试的有几十个国家和地区的近3000千所学校
·参赛者年龄从小学覆盖到高中
无论是从参赛人数、参赛国家、年龄跨度，AMC和其他数学竞赛相比都处于霸主地位。AMC的评分制度和我们熟知的竞赛也有些不同，它不是以一等奖、二等奖之类的等级来进行评判的，而是用百分比：
| AMC8 | AMC10 | AMC12 | |
| 全球个人奖项 | 满分奖
（满分25分） 全球卓越奖 （排名1%） 全球优秀奖 （排名5%） 全球荣誉奖 （6年级及以下获得15分以上） |
全球卓越奖
（排名1%） 全球优秀奖 （排名5%） 全球荣誉奖 （8年级及以下在AMC10获得90分以上） |
全球卓越奖
（排名1%） 全球优秀奖 （排名5%） 全球荣誉奖 （10年级及以下在AMC12获得90分以上） |
| 学校团体奖项 | 学校卓越奖
（本校前3名分数相加≥66分） 学校优秀奖 （本校前3名分数相加在50-65分） |
学校卓越奖
（本校前3名分数相加≥400分） 学校优秀奖 （本校前3名分数相加在300-399分） |
学校卓越奖
（本校前3名分数相加≥400分） 学校优秀奖 （本校前3名分数相加在300-399分） |
| 晋级 | 无 | 2.5%晋级AIME | 5%晋级 AIME |
这样明确的水平划分，使得AMC的成绩具有很强的参考性，因此，美国的一些理工科名校，例如麻省理工学院（MIT）、卡耐基梅隆大学，都会把学生参加AMC的经历和成绩作为学生数学能力的衡量指标之一。
👉MIT的官网申请页面，申请表上需要填写AMC/AIME分数。
👉加州理工学院在其申请表格中会要求申请人填入AMC和AIME成绩。
AMC不同于其他的数学比赛，它的体系环环相扣，颇有打怪升级的感觉。从下图中，我们可以清楚的看到AMC的整个体系：
对于中国学生来说，AMC 8/10/12，包括之后的AIME都是可以参加的，但再往上的USAMO则是为了选拔美国奥数国家队队员设立的，相当于我们国内的“国家集训队”，只有美国公民或美国/加拿大的合法居民可以参加。
而对于名校申请，特别是MIT、斯坦福、普林斯顿，光从AMC晋级AIME还不够，如果AIME成绩要达到晋级USAMO的成绩，则更有优势，因为每年晋级USAMO的学生人数不超过300人，是当年全美乃至全北美洲数学最强的学生，极其受到藤校的青睐。
随着参赛人数逐年增加，想在AMC中胜出越来越难，我们也为大家准备了AMC四大题型及解题秘笈。
AMC四大题型及解题秘笈
藤子老师将AMC的四大题型总结顺口溜如下：
代数不“代数”
图形中寻找“几何”
“数论”就是讨论整数的规律
“概率”就是排列和组合的“排列组合”
题型一：代数题
“代数”（Algebra）起源于古巴比伦时代，词源是阿拉伯语单词“al-jabr”，意义为“重聚”。代数的方法，让古巴比伦人发展出了较之前更进步的算术系统，而同一时期的埃及人、印度、希腊和中国数学家则一般是以几何方法来解答同样的问题。
初等代数在国家大纲里是从五年级开始学习，相对于之前的学习内容，一个显著的特征是，引入了用字母符号来“代替“数字，并且对符号进行形式化的运算。在此基础上，再发展到方程和函数等概念的建立。
虽然代数是要以符号来代替数字，但是初涉代数的学生往往不好理解这种抽象性，总是试图在符号上面“代入“具体的数字去运算。虽然这不失为一种让学生通过试探，逐步从具体思维发展到抽象思维的方法，但是只有当学生不再试图“代入”具体数，代数不“代数”的时候，才是真正开始掌握代数的标志。
2015年AMC8的第24题，倒数第二题，是难度比较大的。
解题思路：在这个题里面，N和M虽然实际上是确定的数，但是以未知数的形式出现的。初学的同学会对N和M的数值进行各种尝试和代入，从而缩小范围，这样是很有可能得出正确答案的。然而，正规的代数方法是先根据条件列出一个方程，因为有两个未知数，但是只有一个方程，所以是不定方程。不定方程在限定条件是可能有唯一解或者有限个数的解的，这里的限定条件就是N和M都是整数，N>2M和M>4，这些限定条件排除了不可能的解，剩下的就是我们要的解。
题型二：几何题
几何一词源于《几何原本》的翻译。徐光启和利玛窦翻译的时候，取原文“geometria”的第一个音节“geo”的音译为“几”，而“几何”本身在中文里是“衡量大小”的意思，用“几何”来作为中文译名，音义兼顾，是神来之笔。
几何学从诞生开始，就是衡量图形的大小的一门数学分支。几何的能力，就是如何将我们视觉看到的一维（长度）、二维（面积）和三维（体积）的图形进行数量化的能力。在视觉的图形关系中，去探索数量的比例关系，图形中寻找“几何”，这就是这种题型的精髓。
2018年AMC8 第22题。2018年题是近10年来最难的一套。
解题思路：从图形上来看，一个正方形被两条直线分割成了4块，所以关键是这4块面积之间的比例关系，或者说它们分别占到整个正方形面积的几分之几。我们注意到其中3块都是三角形，而且只要知道这3个三角形的面积比例，不规则四边形AFED也就知道了。三角形面积比例常用到的几种方法：1）相似三角形面积比是边长比的平方；2）同高三角形的面积比是底边之比；3）同底三角形的面积比是高之比。
学生需要培养“维度”的概念。二维的数量大小是一维的平方的关系，三维的数量大小是一维的立方的关系。而在科幻小说《三体》中，质子是处于卷缩状态，被N维展开以后就会达到N次方那么大，就是非常大的数了。只有在直观范围内把数量关系理解好，将来才能向远远更抽象的高等数学发展。数学实际是纯抽象的学科，数学概念只要能定义就存在，并不需要对应到现实的实物。
题型三：数论题
数论是纯数学的分支之一，主要研究整数的性质，被誉为“最纯”的数学领域。卡尔·弗里德里希·高斯曾说：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”我觉得数论真的很像我一位学生说的，“为了思考问题而设立的问题”。研究数论的数学家确实是纯粹觉得数字本身很有趣（但这有何不能理解呢？就像生物学家也会觉得细菌很有趣），从而创立了很多数论的定理：
·费马小定理
·费马大定理
·威尔逊定理
·欧拉定理
·孙子定理（中国余数定理）
。。。。。。。。。
数论在中国数学大纲里面没有系统的讲解，是我们学生最不熟悉的一个领域。以上定理用数学公式写出来都很抽象不容易理解。例如，指数循环节，也就是欧拉定理的一种推广，写出来是这个样子的：
但是，我们只要知道所谓“数论”，就是讨论整数的规律。这些定理，其实就是前人总结出来的规律的通式。我们即使记不住，也推不出通式，还是可以在特例下面把规律去推理出来的。
2018年AMC10的B卷，这个出现在16题的位置还是挺难的。
解题思路：这个题的正规解题方法要用到费马小定理和中国余数定理，如果能掌握这些当然很高超。但是即使不会这两个定理，也可以用几次WLOG（without loss of generality，不失去一般性）的特例推理，可以分别推出：
从而把这个题解出来。
题型四：排列组合及概率题
第四种题型是藤子老师个人最喜欢的，但也是很多同学觉得困惑的。
排列和组合是组合数学的基本概念，而概率又是由排列数和组合数进行“排列组合”，也就是加减乘除各种运算而得到的。只要概念清晰，方法系统化，可以说理论上一切的概率问题都可以计算出来。
在学习的初期阶段，或者对于简单的排列组合或者概率题，用“穷举法”，或者一些简单的计数方法，是允许的，但是如果一直保持这样，不能发展到熟练使用排列数和组合数的话，解题能力就会极大受到限制。
对于很多初学的同学，第一个难点是分不清排列数（Arrangement，简称A）和组合数（Combination，简称C）。A和C的本质区别在于：决策的顺序对结果有没有影响。
| 常见的排列A的例子 | 常见的组合C的例子 |
| 从一个班级里面选几个同学，让他们依次登台演出 | 从一个班级里面选几个同学，组成一个团体操队 |
| 在一堆书里面选出几本，然后放到书架上 | 从一堆书里面选出几本，放在包里带着 |
| 男同学和女同学各选出N人，一男一女配对跳华尔兹 | 男同学和女同学各选出N人，大家一起跳集体舞 |
在上表左边的例子中，先挑选谁后挑选谁对结果是有影响的；而在右边的例子中，先挑谁后挑谁对结果无影响，有影响的只是谁被挑了谁没被挑而已。
有了基本的排列数和组合数以后，接下来根据下表中的规则去匹配应该用哪种四则运算即可，对于复杂的概率题一定是多种运算相结合的。
| 加法 | 减法 | 乘法 | 除法 |
| 几种不同时发生的情景 | 扣除不同情景中相重叠，重复计算的部分 | 几个同时发生的事件 | 消除顺序（本该没有顺序，但在之前的计算中考虑顺序了） |
2011年AMC10 A卷第21题，不太复杂的一道排列组合题。
解题思路：首先，五个顶点我们视为不同的，所以对它们的涂色是有顺序的。关键是要把顺序排列好，还要把情况分解好。我们用下面的树形图来表示。把每一个分支的计数算出来，最后加和就是总数了。
在学习初等数学的阶段，一定要注重概念的完全掌握理解，哪怕是简单的题，学习用正规的系统的方法去解答，才能有利于将来高等数学的学习。一个好的解题习惯养成不容易，但是坏的习惯一旦形成，就会很难改掉。
千里之行始于足下，我们的孩子可能只有远大目标却不知道眼前这步怎么迈，但是家长需要树立起引导的意识。AMC不仅是一个竞赛，更是孩子数学学习道路上的一个重要基石。踏踏实实对待每一年的AMC备考，打好数学基础才有后面的旖丽梦想，学好了数学才能学STEM、学AI......
