先识别重复计算
假设你拿到一个长度为5的数组，元素依次为2、3、5、1、4。若反复询问“第2个元素到第3个元素的和”，最直接的做法是每次从第2个位置开始累加3和5，得到8；下一次问“第3个到第5个”，又从头累加5、1、4。这种每问一次就重新加一遍的做法可以看作暴力搜索：它逻辑简单，但同样的加法被重复执行多次。数组越长、询问越多，重复劳动越明显。
用前缀和保存部分结果
优化的思路是：把已经算过的部分结果存下来，避免每次重复。定义前缀和数组P，P[0]=0，P[i]表示原数组前i个元素的总和。上面数组的P为：P[1]=2，P[2]=5，P[3]=10，P[4]=11，P[5]=15。对于下标从1开始的闭区间[l,r]，区间和等于P[r]-P[l-1]。例如区间[2,3]的和为P[3]-P[1]=10-2=8，与直接累加一致。查询时只做一次减法，不再遍历区间。
预处理的前提：数据稳定
前缀和能提速，前提是数组在预处理后不频繁修改。一旦修改某个元素，从该位置起的所有前缀和都要同步更新。例如把第3个元素从5改成7，那么P[3]、P[4]、P[5]都要重新计算。因此，若题目是“数组固定、只做查询”，前缀和非常合适；若需要“边修改边查询”，则应考虑树状数组或线段树等结构。选择算法时，要权衡预处理代价与查询代价。
把“数重复”当作优化起点
拿到题目先别急着写循环，可以问自己：程序里有哪些重复计算？重复部分能否提前算好？提前算的代价是否值得？
自拟一个练习：数组[1,3,2,4]，求所有长度为2的连续子数组的和。暴力做法是分别计算[1,3]=4、[3,2]=5、[2,4]=6。用前缀和，P[0]=0，P[1]=1，P[2]=4，P[3]=6，P[4]=10；区间[i-1,i]的和用P[i]-P[i-2]依次得到4、5、6。虽然小数据看不出优势，但设想数组长度10万、询问10万次，若每次询问都覆盖长度为10万的整个数组，暴力累加在最坏情况下约100亿次加法；前缀和预处理需10万次加法，每次查询一次减法，合计约20万次操作。这种数量级差距正是优化的意义。
