新加坡国立大学全奖博士项目（Weizhu Bao教授）

一、导师简介

1.1 研究领域与核心方向

Bao教授的研究横跨多个学科，且始终以“数学方法解决物理与工程问题”为核心，具体涉及的领域包括：

- 基础学科：应用数学（Applied Mathematics）、数值与计算数学（Numerical and Computational Mathematics）、纯数学（Pure Mathematics）及数学物理（Mathematical Physics），这些是其研究的理论基础；

- 应用交叉学科：应用计算（Applied Computing）、凝聚态物理（Condensed Matter Physics）、材料工程（Materials Engineering）和机械工程（Mechanical Engineering）等，是其理论方法的落地场景；

- 核心研究兴趣：多年来，Bao教授持续深耕Bose-Einstein凝聚（Bose-Einstein Condensation, BEC）的数学分析与数值模拟、计算流体动力学（Computational Fluid Dynamics, CFD）、计算量子与等离子体物理，同时在无界区域问题的数值方法、多尺度分析与模拟，以及超导与超流中的量子涡旋态与动力学研究中积累了深厚成果。

1.2 教学理念与实践

“教”与“学”的双向互动是Bao教授教学理念的核心，而“终身学习”则是这一理念的底层逻辑，具体实践可分为两个阶段：

- 本科阶段：教学形式不局限于传统讲座，还包含tutorials、实验操作、小组讨论等。在讲座中，Bao教授会将重点放在基础概念的阐释与算法逻辑的梳理上，对于复杂定理与算法，仅给出关键步骤与核心思想，鼓励学生自主推导细节；在tutorials中，学生需提前尝试所有问题，课堂上通过展示解题思路、回答同学疑问深化理解——因为在Bao教授看来，“能向他人讲解清楚，才是真正理解问题”。

- 研究生阶段：Bao教授不将研究生视为“知识的接收者”，而是“新知识的发现者”。在讲解完领域基础内容后，他会为学生提供与研究前沿相关的问题，引导学生采用“问题驱动学习”模式，自主寻找领域内有科学价值的研究课题；同时，他会为每门课程搭建专属网页，上传讲义、习题、往年考题等资源，还会用电脑演示算法运行过程与结果，帮助学生更直观地理解知识。

二、近期文章和项目解析

2025年是Bao教授研究成果集中产出的一年，这些成果均发表于应用数学、计算物理、非线性科学领域的顶刊，核心围绕“数值方法创新”与“物理问题精准模拟”，既具有理论深度，又贴近实际应用。

2.1 代表性成果解析

（1）非线性Klein-Gordon方程（NKGE）的长期动力学数值方法

- 成果载体：2025年8月，Bao教授与Cai Y、Feng Y合作完成的章节《Error Estimates of Numerical Methods for Long-time Dynamics of Nonlinear Klein-Gordon Equation》，被收录于WORLD SCIENTIFIC出版社出版的《Recent Progress on Numerical Analysis for Nonlinear Dispersive Equations》一书中；

- 核心贡献：该章节针对弱非线性NKGE（非线性强度由ε²表征，ε∈(0,1]）的长期动力学问题（时间尺度达O(ε⁻²)），系统分析了多种数值方法的误差边界。其中，“正则补偿振荡（Regularity Compensation Oscillation, RCO）”技术的引入是关键突破——它解决了传统数值方法在长期模拟中误差不断累积的问题，显著提升了时间分裂法的统一误差界；

- 方法覆盖：研究涵盖了空间离散（有限差分法、谱方法）与时间离散（有限差分法、指数积分器、时间分裂法）的多种组合，明确了网格尺寸、时间步长与参数ε如何影响误差，为科研人员开展实际模拟时的参数选择提供了清晰依据。

（2）曲面基底上固态去湿的结构保持参数有限元法

- 成果载体：2025年7月，Bao教授与Li Y、Zhao Q合作的论文《A structure-preserving parametric finite element method for solid-state dewetting on curved substrates》，发表于《Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation》——这本期刊在非线性科学与数值模拟领域的影响因子约为5.5，属于该领域的顶刊；

- 核心创新：针对曲面基底上薄膜（具有各向异性能量）的固态去湿问题，团队提出了“结构保持参数有限元法（SP-PFEM）”。该方法的核心是引入基底曲线的弧长参数化：一方面将弯曲的基底“拉直”，另一方面精准追踪接触点之间的长度变化，从而确保模拟过程中“能量衰减律”与“封闭面积守恒”这两个关键物理性质不被破坏；

- 实践价值：为求解该方法涉及的非线性系统，团队设计了结合Picard法与牛顿法的混合迭代算法，数值结果证明，该算法在不同曲面基底的模拟中均表现出稳健性。这一成果可直接应用于材料工程领域，指导半导体薄膜等材料的制备工艺，减少薄膜缺陷。

（3）自旋2 BEC基态计算的归一化梯度流方法

- 成果载体：2025年1月，Bao教授与Tang Q、Yuan Y合作的论文《A NORMALIZED GRADIENT FLOW METHOD FOR COMPUTING GROUND STATES OF SPIN-2 BOSE-EINSTEIN CONDENSATES》，发表于《SIAM Journal on Scientific Computing》——SIAM系列期刊是应用数学领域的顶尖期刊，该刊影响因子约为3.8；

- 核心价值：BEC的基态是指其能量最低的量子态，准确计算基态是理解BEC物理性质、开发量子器件的基础。传统梯度流方法在处理量子系统的约束条件（如质量守恒）时容易出现不稳定性，而Bao团队提出的“归一化梯度流方法”则解决了这一问题，为多组分BEC的量子态模拟提供了新的有效范式，对量子计算、量子调控等领域的基础研究具有重要支撑作用。

（4）基于归一化深度神经网络（norm-DNN）的BEC基态计算

- 成果载体：2025年1月，Bao教授与Chang Z、Zhao X合作的论文《Computing ground states of Bose-Einstein condensation by normalized deep neural network》，发表于《Journal of Computational Physics》——这是计算物理领域的顶刊，影响因子约为4.7；

- 技术突破：传统深度神经网络（DNN）在处理BEC基态计算时，难以满足量子系统的约束条件（如质量归一化）。为此，团队在传统DNN基础上增加了两个关键层：一是“归一化层”，确保模拟过程中质量守恒；二是“偏移层”，引导模型训练向非负基态收敛，最终构建出norm-DNN模型。该模型不仅是无监督学习在BEC模拟中的成功应用，还可扩展至高维、多组分BEC系统，甚至能计算BEC的第一激发态，为机器学习与量子流体数值模拟的结合提供了新思路。

2.2 研究项目的应用导向

Bao教授的研究始终避免“纯理论空转”，而是紧密对接工程与物理领域的实际需求：

- 在材料工程领域，固态去湿模拟可帮助优化薄膜材料（如半导体薄膜、金属薄膜）的制备工艺，减少材料缺陷，提升器件性能；

- 在量子技术领域，BEC基态与激发态的精准计算，能为量子存储器、量子传感器等新型量子器件的设计提供理论支持；

- 在流体力学领域，计算流体动力学（CFD）与无界区域数值方法的研究，可应用于航空航天的气动设计、能源领域的流动优化等实际问题。

三、未来研究预测

从Bao教授现有研究脉络与学科发展趋势来看，其未来研究将围绕“方法深化”“跨学科拓展”“技术融合”三个维度展开，而这些方向也将为博士研究生提供丰富的研究课题与成长空间。

3.1 核心方向的延伸

- 多组分/高自旋BEC系统：目前团队的研究集中在自旋2 BEC，未来可能进一步拓展至自旋3及以上的BEC系统，或探索多组分BEC之间的相互作用机制，解决更复杂的量子流体动力学问题；

- 长期动力学的普适性方法：RCO技术在NKGE长期动力学模拟中的成功，为其他色散型非线性偏微分方程（如薛定谔方程、KdV方程）的长期模拟提供了借鉴，未来可能形成适用于这类方程的通用数值框架；

- 复杂几何下的结构保持方法：当前曲面基底的研究主要针对简单曲面，未来可能扩展至三维复杂曲面（如多孔材料内部、微通道壁面）或动态基底（如振动基底）的演化问题，让模拟更贴近工程实际场景。

3.2 跨学科合作潜力