人再笨还能学不会微积分吗？

A-Level想冲A*？单科预学5000起，开学直接二轮复习最近，钱学森老先生的一句话又火了起来：“人再笨，还能学不会微积分吗？”

这句振聋发聩的“钱学森之问”，可能让许多曾经被《高等数学》支配过的朋友们五味杂陈。因为现实经验告诉我们——别说，还真能。

很多人学不会微积分，甚至谈“微积分”色变。但问题的根源，真的在于我们“笨”吗？根据我这么多年的教学经验，我想说：绝大多数人学不会微积分，核心原因在于我们所接触的教学计划和教材，从一开始就“不太对劲”。

我们先来看看，国内大多数人是如何与微积分“初次见面”的。一提到学微积分，很多人的脑海里可能会立刻浮现出一本经典的绿色（或蓝色）封皮教材——同济大学版的《高等数学》。

这本教材在国内的流行程度无需多言，它几乎是一代人的集体记忆。但坦白说，对于初学者而言，这本教材对微积分的学习非常不友好。

它的问题在于：讲解过于抽象，缺乏建立学习微积分所必需的直觉。它往往从严格的定义和理论出发，缺少足够的图像化解释和生活化引入，让学生很难直观地理解那些符号背后的意义。如果你把这本教材直接丢给一个高中生，结果几乎是注定的——他肯定学不会。

国内的教学体系似乎也印证了“微积分很难”这一“共识”。比如，高中数学几乎不讲积分，只在最后选择性地介绍导数。导数本身是微分的核心内容，但在高中阶段，我们只是简单了解了它的“变化率”含义，然后就在一个非常有限的知识体系内，把导数应用题的函数搞得无比复杂，复杂到足以成为高考数学的压轴题。

这样的经历，让许多人从小就形成了一种根深蒂固的观念：微积分太难了！高中只能学其中一小点皮毛，而即便只是这点皮毛，其难度也足以问鼎顶峰。带着这种“心理阴影”进入大学，面对更加系统和抽象的《高等数学》，自然是力不从心，节节败退。

但事实果真如此吗？微积分真的有那么难啃吗？其实，只要经过良好的知识编排，即使是高中生，也可以把微积分学得很好。我们可以把目光投向国际教育体系作为参照。

在主流的三大国际教育体系（AP, IB, A Level）中，微积分都是高中数学教学大纲里的核心组成部分，绝非“选修”或“点缀”。以A Level为例，它的教学分为两年。即使是在相对简单的第一年（AS阶段），其最基础的数学课本（P1）里，也同时包含了微分和积分的教学。学生从一开始接触的就是一个完整的微积分体系。再看AP体系，它的数学课直接就叫“微积分（Calculus）”。

其内容不仅包括微分和积分，甚至还延伸到了微分方程和级数。从知识广度上说，AP微积分BC的内容已经基本覆盖了同济《高等数学》上册的核心。

但这里有一个“冷知识”：在AP所有科目里，AP微积分是被公认为最容易拿到5分（满分）的科目之一。同样，在A Level体系中，像P1、P2这些包含大量微积分内容的科目，也有相当多的学生能在考试中拿到满分。

Alevel CIE考试局 高中最简单的P1的大纲这足以证明，微积分本身并非无法逾越的天堑。国际体系的学生为什么能学会微积分？我想，这主要得益于以下几点：

1.教学方法更科学，重视直觉建立

国际体系的微积分教学，不会一上来就用极限的严格定义（ε-δ语言）把人“劝退”。教材中会引入大量图片，通过切线斜率、曲线下面积等直观方式，让学生先理解微分和积分的初步思想。先给你最简单的公式，让你能套用、能应用，在解决问题的过程中逐步建立起对概念的感性认识。在题型上，也不会出现那么多偏难怪的“变形金刚”。

2.知识体系完整，杜绝割裂感

微分和积分是一体两面、互为逆运算的。国际课程从一开始就将两者作为一个整体来教授，让学生能立刻感受到微积分这个体系的和谐与强大。这与国内高中“只教微分，不教积分，还把导数题出得特别难”的割裂式教学形成了鲜明对比。

国际体系的考试也更侧重于核心知识的理解和应用，基本遵循“教什么，考什么”的原则，教材上的例题和练习足以涵盖绝大多数考试题型。

3.螺旋式上升，难度循序渐进

国际课程非常擅长使用“螺旋式上升”的教学模式。以A Level数学为例，纯数部分有P1, P2, P3, P4四本书，进阶数学（Further Maths）还有FP1, FP2, FP3。

这7本书，几乎每一本都会涉及微分和积分，但每一本都只比前一本深入一点点。公式的难度、计算的复杂度、应用场景的广度，都是逐级递增的。

有人可能会觉得这样太“墨迹”，不如一次性讲透。但从实际教学效果来看，除了少数极聪明的学生，大部分人更适应这种“小步快跑”的模式。它能有效避免学生因短期内信息量过大而产生抗拒心理。

而同济高数那种“一步到位”的搞法，更适合已经具备较强自学能力和心智成熟度的大学生。

4.教材编写用心，真正为学生服务

许多优秀的英文原版教材，在编写上极为用心。它们会不厌其烦地用大量篇幅去解释一个核心概念，生怕你看不懂。这与国内部分教材惜字如金、行文简练的风格形成鲜明对比。

后者可能更像是一份“知识大纲”，默认了教师会进行深入浅出的讲解，但对于自学者却是一场灾难。在这方面，我个人非常推崇《普林斯顿微积分读本》(The Calculus Lifesaver)。这本书就完美符合我对一本好教材的期待。

我个人选择教材的几个核心标准：

知识完整全面：不能把核心知识点藏在习题甚至省略不讲。

难点精准提示：在学生容易卡壳的推导或概念处，必须有清晰的解释和引导，而不是让作者“自嗨”。

动机驱动学习：讲解概念需有引入动机（为了解决什么问题？），不能突兀地丢出定义，最好能联系旧知。

硬核技能培养：必须包含扎实的计算、推导、证明等数学核心技能训练，不能只停留在“名词解释”。

当然，我知道有人会觉得，再好的书，看这种大部头教材还是太费劲了。

如果你不喜欢看书，现在网上也有大量优秀的视频资源能帮你入门微积分，比如3Blue1Brown的《微积分的本质》系列，堪称用视觉化建立微积分直觉的典范。

所以，希望这篇文章能帮助大家重新认识微积分。它并不神秘，也绝非天才的专属。当你下次听到有人感叹“微积分太难了”，或者回想起自己被高数支配的恐惧时，不妨想一想：或许，你我当初不是学不会，只是没有遇到正确的“打开方式”。