爱德思P4参式函数积分补充说明

童鞋们最近还好吗,2023年1月份爱德思考试马上就要到了,一定要苟住,不要在考试那几天羊。老师目前暂时苟住了但也是瑟瑟发抖中。今天给某位童鞋上网课,讲到爱德思P4 parametric equation(参式函数)的积分,突然想到一个容易让同学们疑惑的问题,就是参式函数的曲线如果不是一个x对一个y的类型,它跟x轴包围的面积用积分怎么算。这个问题课本上没有讲(我看了甚至连个图都没有),但做题的时候是非常容易遇到的,所以有必要补充说明。

首先我要解释清楚这个问题是什么意思:

一个参式函数x=f(t),y=g(t)的图像如果是一个x对一个y的曲线,像这样

爱德思P4参式函数积分补充说明

那么它与x轴包围的面积就是

爱德思P4参式函数积分补充说明

其中x=a时t=c,x=b时t=d。这是我们比较熟悉的方法。

但如果它的图像不是一个x对一个y的曲线,像这样

爱德思P4参式函数积分补充说明

曲线不是完全夹在x=a和x=b之间,那它与x轴包围的面积(阴影部分)还是跟刚才一样的算法吗?这就是今天要讲的问题。

先说结论:是一样的。至于原理,我们把曲线分成3段,如图所示,每段的端点和对应的t值也写在图上。

爱德思P4参式函数积分补充说明

我们要算的面积是S1+S2,先说S1,这个简单:

爱德思P4参式函数积分补充说明

至于S2,我们把它看成曲线HK下方的面积(S2+S3)减去KB下方的面积(S3)。这里我们要先用关于x的积分来表示面积,注意我的写法,由于HK和KB两段曲线对应的x范围是相同的,所以我在y后面加括号来区分:

爱德思P4参式函数积分补充说明

然后把这两个积分变成关于t的,下面是关键:

在HK这一段中,当x=b时t=i,当x=k时t=j,

在KB这一段中,当x=b时t=d,当x=k时t=j,

所以

爱德思P4参式函数积分补充说明

然后再注意定积分有两个基本性质:

爱德思P4参式函数积分补充说明

所以

爱德思P4参式函数积分补充说明

最后把S1加上

爱德思P4参式函数积分补充说明

这样就说明无论参式函数的曲线是不是一个x对一个y的,它与x轴包围的面积都是一样的算法。

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