STEP 3 中的数论问题如何作答？

数论部分虽然不是 STEP 所考察的重点内容，但依旧不容忽视。原因是它的考察频率并不算特别的低，并且一旦考生重视这块内容，数论题就是送分题，而一旦忽视那数论题就是许多考生眼中的难题。

自 2010 年以来，STEP 3 一共考过四道数论题目，分别是：2022 年第二题，2016 年第五题，2013 年第五题，以及 2012 年第八题。与其他板块不同的是，数论题目考察的题型往往具有十分深刻的数学背景。而具有这一特点，意味着数论的题目会比较容易预测容易掌握。考生们只需要按照老师的指导，把高中阶段所要求掌握的具有深刻数学意义的数论内容一一搞懂，那么 STEP 3 当中的数论试题将变得格外简单。

01、2022 年第二题解析

这道题对于没有系统学过数论的学生而言乍一看很难，有些同学只看到题目的表面几乎就打了退堂鼓。然而实际上这是一道非常简单的题目。

它的整个过程是对数论中常见方法无穷递降法的简单应用。无穷递降法是由数论公理之中的最小数存在原理推导得出的一种实用方法。所谓最小数存在原理就是说正整数集的非空子集必存在最小数。那么如果某个正整数集的子集不存在最小数，该子集一定为空集。无穷递降法就是应用这一原理来证明问题无解。

知道这一原理并进行过对应训练的同学只需要对本题进行非常简单的奇偶性讨论就可以在五分钟内做完这道题。

02、2016 年第五题解析

这道题的数学背景则更加耳熟能详，是简简单单的第二数学归纳法。

数学归纳法在数论的系统教学中被作为公理直接给出。前两问只需要进行简单的整除分析作为数学归纳法的起始条件，后面的三四两问其实就是数学归纳法的递推过程。

整道题目与其说是在考试倒不如说是在教学。

03、2013 年第五题解析

2013 年第五题考察的是 BEZOUT 定理与反证法的综合应用。

这道题的最后一问用最简单的数学给出了一个同样简单但深刻的结论：如果 r 是正有理数，并且 r 的 r 次方也是正有理数，那么 r 一定是正整数。

04、2012 年第八题解析

2012年第八题考察斐波那契数列的性质应用。

具体的性质在问题中给出，对于学竞赛的同学来说考察的是常见性质。最后一问则是一道数列类型的题目。本题属于数论与数列的综合题。

我们对比一下全国高中数学联赛的考试大纲：

初等数论：

同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数 [x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。（数学归纳法作为公理并未列在考纲中）

加粗的斜体部分是目前已经考察过的内容。

不难发现，考察的内容基本出现在考纲当中。考纲里有一些 STEP 3 内从来没有考察过的内容。但是我们不能下结论说 STEP 3 不考察没有出现过的内容。因为 STEP 3 考察数论的逻辑就是要考察深刻的、具有很强数学背景的内容。而且几乎没有任何拓展，就是对方法本身的最基本的理解。而联赛考纲几乎囊括了所有具有深刻数学意义的数论内容。

对于 STEP 3 中的数论题目，我认为考生只要对联赛考纲当中的每一块内容有最基本的了解，做过一两道对应的习题，那么 STEP 3 考试当中的数论题目很可能成为你的送分题。

因为高中阶段具有深刻数学意义的数论题目本身范围就是局限的，很容易全部掌握。而对于没有系统学过数论的同学来说，挑战这样的题目意味着在短时间内掌握一种新的方法乃至思想，对于考试而言是非常不划算的。