欧几里得数学竞赛压轴题的高级解法

2024年Euclid竞赛已过去将近一个月了，最后一题是一个几何与数论相结合的问题，最后一问化简后如下：

证明方程有无数多组正有理数解，其中.

机构此前已给出解答重磅！2024欧几里得真题答案新鲜出炉！，所给解答巧妙地利用了韦达定理，这里给出另外一个解法，该方法需要利用Pell方程，对于Eucild竞赛而言略显“高级”，有杀鸡用牛刀之嫌，因此之前并没有放入解答．这里给一个补充，希望能起到抛砖引玉的作用，进而引发读者对比思考．

Pell方程解法

一起来看看另一种解法吧～

与此前所给解答相比，这一组数据中的取值“集中”在1的附近，而的取值则 “集中”在附近，本质上就是一组逼近于的有理数解序列．

思考

与二次方程有关的存在性构造问题也经常出现在各种竞赛中，在本文最后给出一道笔者初中时代参加竞赛的考题，看看大家能否给出解答，欢迎投稿！