AMC 10 几何板块公式、定理、方法汇总

正在备考 AMC 的你,会不会感觉它考的内容特别多?好像这个也没学过,那个也没学过。

可是当我们针对每一题去分析的时候,发现其实大部分知识点你都学过。只不过是中学所学的某些章节的定向延伸。

对于第一次参加 AMC 的你来说,最为困惑的是备考阶段我们到底需要准备什么,有哪些部分是需要额外学习的。其实除了掌握一些特定的公式定理,也需要大家平日多思考多积累,很多的方法的基础都是我们课堂所学的知识。

从这周开始我来总结一下 AMC10 涉及到的定理、公式、方法。

与其他数学竞赛相类似,备战 AMC 也需要一定程度的超前学习。对于准备 AMC 10 的同学,尤其是国际学校的学生,个人建议至少完成 11年级之前的课内数学学习。

在这一阶段的课内学习中,几何部分主要包括了相似三角形 (similar triangle), 全等三角形 (congruent triangle), 勾股定理 (Pythagorean theorem), 正弦 (the law of sines)、余弦定理(the law of cosines), 圆 (circle) 等主要知识点。

今天我们先来学习以下五个定理:

1、平行线分线段成比例定理

2、射影定理 (Euclid's theorem)

3、角平分线定理 (Angle bisector theorem)

4、利用正弦求三角形面积

5、斯图尔特定理(Stewarts theorem)

1、平行线分线段成比例定理

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这一定理不仅仅适用于相似三角形,其核心思想是找到两到三组平行线,利用平行线分割的线段找出比例关系。

例如下面这道题,你可以根据平行线找出比例关系么?

AMC10B 2016 Q19 (答案见最后)

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2、射影定理 (Euclid's theorem)

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这一定理的结论可以通过中学学习的相似三角形的知识证明。是和直角三角形相关的题目的重要解题线索,使用时,只需要找出一个直角三角形和其斜边的高,就可以对未知边长进行求解。

下面这道题中,如果想应用射影定理,你找出需要的直角三角形了吗?

AMC10B 2004 Q22 (答案见最后)

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3、角平分线定理 (Angle bisector theorem)

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这一古老的几何定理早在公元前 300 年就出现在了几何原本的第六卷中。是一个在 AMC10 的几何难题中颇为实用的定理。看到了角平分线的信息,就可以找出线段之间的比例关系。

掌握了这样一个定理,即便是 AMC10 的压轴题也不在话下。

AMC10A 2018 Q24 (答案见最后)

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4、利用正弦求三角形面积 

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这一结论也是针对中学三角知识的延伸,不仅仅可以求三角形的面积,还可以在已知两个三角形其中一个内角相等的前提下,找出对应边长的比例关系。

了解这一公式,是不是对上面的第三题又有了新的思路呢?不仅如此,在其他的 AMC 考题中我们也可以找到它的应用。

AMC10B 2017 Q19 (答案见最后)

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5、斯图尔特定理(Stewarts theorem)

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这个定理不太好记,当 D 点为中点时还可以简化为中线定理。作为比较不常用的定理,适合针对最后五题复习的同学。

试着用这个定理一起挑战一下这道 13 年的几何压轴题吧!

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详细过程及答案

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方法一:

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方法二:

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