CIE 数学 FP1 invariant line知识点扩展

同学们,今天我们来看一下今年5月CIE 数学FP1 12卷第7题(d)问:

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我们先按常规步骤写一下,从设invariant lines的方程是y=mx开始:

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因为有两条不同的invariant lines,所以m要有两个不同的实数值,上面最后的一元二次方程的discriminant要大于0:

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这样就做完了,好像很简单的样子呢。让我们来康康答案验证一下:

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Emm......k>-1是没错,可是为什么后面还有个k≠8呢?

我们先看看k=8的时候到底是什么情况:

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m=4没毛病。再看m=-2:

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这里就有点疑惑了,这个式子说明k=8的时候y=-2x上的点全都会被矩阵变成(0,0),倒是也满足y=-2x,可是这已经不能叫“invariant line”(重点是line)了,因为整条线都变成一个点了,而不是像m=4的时候一样变完了还是一条线:

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所以,这个时候实际上只有一条invariant line y=4x。

k≠8的原因知道了,可是做题的时候怎么能想到这一点呢?谁会在求出k>-1之后还再去一个一个验证所有大于-1的数是不是满足题目要求呢?这里要给同学们补充一下教材上没讲到的知识点:如果2×2矩阵A的行列式detA=0,那么A只有一条invariant line。这是因为,如果detA=0,那么A的两行成倍数关系:

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设这个倍数是n,那么A可以写成:

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对任意一个点(x,y),经过A变换之后

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都会变成一个纵坐标是横坐标n倍的点,所以A的invariant line只有y=nx。

当k=8时,真题中的矩阵行列式正好就等于0。所以同学们以后如果再遇到类似的题,只要记得检查一下矩阵的行列式是不是等于0就可以了。

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