2022年美赛B题解题思路分享

2022年美赛B题的背景主要讲述了几个世纪以来,人们通过在河流上建造水坝来储水,并且通过水轮机进行水力发电。但是随着气候变化,许多地区的水坝水库供水量正在减少,所以可能会导致供水和供电不足。并且这个背景中给了一个很重要的信息,如果大坝后面水库的水位足够低,那么水力发电就会停止,这与后续解答的题目有相应的关联

然后告诉我们美国的5个州:美国亚利桑那州(AZ)、加利福尼亚州(CA)、怀俄明州(WY)、新墨西哥州(NM) 和科罗拉多州(CO),对水资源和电力生产的分配在进行博弈。他们需要通过格林峡谷大坝和胡佛水坝资源分配来解决相互利益的竞争,并且这些协议要从科罗拉多河系统分配一定的水量。

附加指导中给了我们5个比较重要的信息

从格林峡谷大坝流出的水为胡佛大坝提供了部分水输入。

要考虑农业、工业和住宅用水与电力的合适分配。

要从格林峡谷大坝和胡佛水坝获取相应的水量;

墨西哥对五个州消耗其份额后剩余的水提出索赔。

允许多少水(如果有)从科罗拉多河流入加利福尼亚湾。这些信息对我们后续的解题很有帮助。

美赛B题是有4个问题:第一问又可分为三个小问。

首先第一问,当米德湖的水位为M 且鲍威尔湖的水位为P时,应从每个湖泊抽取多少水以满足规定的需求?首先我们查询地图可以发现鲍威尔湖和米德湖其实就是一个水力发电的上层湖泊和下层湖泊,中间的大坝就是格林峡谷大坝,然后米德湖的下游又连接有胡佛大坝,也就是说这两个湖泊和两个大坝其实是顺位连接的关系。

我们可以画出它的一个示意图:

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每个湖泊有水补充,像是下雨和其他流域水流入,补充的水量是【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,并且也有水流出减少,像是水分蒸发和水流出至其他流域,减少的水量【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,然后还有一部分水是用于发电,通过大坝,然后流入米德湖的水体积是【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,然后同样的米德湖也有像降雨等的补充,还有其他水流汇入的【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!。考虑到鲍威尔湖的部分水从格林峡谷大坝发电后流入米德湖,故还有【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!体积的水流入米德湖,还有像蒸发等损耗的【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,还有用于胡佛大坝发电的【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!

所以我们可以据此写出任意t时刻鲍威尔湖和米德湖中湖水的体积:

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(1)

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然后我们再考虑用电,根据题意,水力发电是将水的重力势能转化为水轮机的机械能,进一步转化为电能,画出水力发电示意图:

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考虑上层湖泊减少一小部分水时,可以近似认为是上层湖泊薄薄一层水膜下降至下层水库上方形成薄薄一层水膜,所以水重心下降的高度差近似认为是两个湖泊的水面高度之差h,水的重力势能就是水的重量mg乘以水面高度差h,考虑到发电能量的损耗,引入转化率η,得到发电电能公式和电功率公式:

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又因为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!将发电水的体积用流量Q表示,可得:

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因为在2个大坝发电之后,要通过电网运输到5个州之中,在路途上也会有电的损耗,我们就考虑从i地区到j地区电功率的损耗,定义电线的单位长度电阻为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,电线总长度为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,V为用电电压,表达式如下:

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然后考虑到它是有两个大坝进行发电,而每个地区从两个大坝中获取的电量的占比不同,我们可以假设每州获取的电量中格林峡谷大坝供电所占比例为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!(i=1,2 … 5),米德湖发电的占比自然就是(1-【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!),每个州所需的电功率为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!这样就可以列出总发电的电功率的表达式:

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同样地,我们可以令每个州从鲍威尔湖中获取到水量与每州所需水量的比值是【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,同样的写出各个州从鲍勃尔湖中获取水的体积——是每个州对鲍勃尔湖用水的体积之和,加上鲍威尔湖用于发电的用水体积和,发电用水量我们可以用一个积分进行表示。

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然后通过我们已知的各种的数据,通过电功率表达式可以求出用于发电的水流量Q求出流量Q之后,我们可以得到发电用的水量,然后我们再加上生活用水的水量,即可得到我们所需要抽掉的水量。【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!就是我们的答案。

第二小问我们要求如果没有额外水补充,这个系统在满足需要的条件下能够维持多长时间。

首先我们的背景中给了一个比较重要的信息,就是当水位高度足够低时,水力发电会停止,这给我们一个暗示,不考虑其他因素情况下,只要水库中有水,我们就可以不断抽调水资源,所以用水的最低水位几乎等于0,但是用电的最低水位就高于0了,所以当上层湖泊水位降低时,是先停止发电,然后再无法用水。

考虑到下层湖泊有上层湖泊水流入,上下湖泊的水面高度差h随着时间的增加而逐渐降低,考虑到水轮机的发电其实是由水重力势能转化为机械能进一步转化为电能。由(4)可知——电能E是和h与【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!成正比的,当h逐渐减小时,电能E也会减少。当水面的高度降低到一定高度时,水发电一天产生最大电能会小于每州日所需电能,就造成了发电短缺,这个时候就是我们需要考虑的坚持最长时间的一个临界值。可以通过数据求出一天24小时水力发电的电能和所需的日供电能相等时的水面高度差【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!。为简化计算,我们将湖泊简化为圆柱体,底面积是S,每天消耗水体积是【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,第i天湖面高度差为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!每天消耗水体积换算圆柱体积示意图:

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T=1天,每天发电时间【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,发电水流量是【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,临界条件下【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!可列出以下递推公式:

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化简得:

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当求出第i+1天水面高度差【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!小于【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!时,此时i即是可坚持天数【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,即最终答案。

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第三小问问我们多长时间额外加一次水可以满足需求。由第二小问可知,当h逐渐减小时,发电电能E也会减少,当我们需要给居民提供额定的电量的时候,我们发电时所要消耗的水量就需要相应的增多,也就是说随着时间的增长,我们的水面高度越低,我们每次需要发电用水的水量越多,我们的水面的高度下降的速率也就越大。

可以得出湖面高度差h与时间t不是成一个线性关系——当时间增加,h也会下降的越来越快,h-t图像可以近似拟合成一个幂函数图像,且h有越来越快的下降的趋势。所以画出一个比较简易的一个示意图:

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所以这里就直接把它离散化考虑,结合用水体积V=S(【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!)和(9)直接求1,2,3……n(【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!)天时各加一次水,需要加多少水,然后通过图表等形式将结果表示。

第二问我们要考虑各州的收益,就可以考虑用净利润这个指标代表他们的收益。首先净利润=利润-成本(即【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!),我们就可以写一个净利润函数:

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其中P代表profit利润,R代表revenue收入,然后C代表cost成本,而考虑到水供给减少时候,单位量水的水费和电费其实是呈一个上涨趋势的,获得相同量的水与电能需要支付更多的成本,这会带来各州的收益的减少。所以我们先令原本每立方米的水费为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,由于水供给的减少使每立方米的水位上涨,为了简化计算,考虑单位质量水的水费与供水量成一个反比的关系的,而水费下降会使我们收益上升,可以画出一个比较简单的示意图来表示它们之间的关系:

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然后我们定义新水费与【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!的比值是【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!然后我们可以写出收益随着水量的变化的表达式:

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其中【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!是它的水量的变化,然后可以发现如果水量减少,会造成新水费比原水费的费用高,使等式右边变化费用小于零,使收益负增长,即使【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!小于0,这也是符合我们直观认知的。

所以通过把Δ变成d解一个微分方程可以求出以下的表达式:

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(12)

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然后我们再考虑成本,它其实是与水的水量是有关的,因为水通过各个管道运输所产生的成本是跟水的体积成一个近似正比的关系的,运输水量越大成本越高。我们就简化计算考虑它与水供应量成正比。在背景中有告诉我们,墨西哥对5个州消耗其份额后剩余的水提出索赔,所以我们也需要考虑墨西哥的索赔的要求。

假设我们居民等所需的水量是【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,当水量小于【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!的时候,随着供水量的增加,产生的收益应当是增加的,因为当水量不足的情况下,供水增加可以带来的收益会非常大,这里可以参考经济学的边际效应在商品量比较小时的增长态势。当水量超过【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!的时候,墨西哥开始索赔,它的成本其实是呈一个上涨的情况,使水量增加成本快速增加,这个增长也是符合边际效应商品量过大的情况。所以我们就需要综合考虑利用边际效应对应求解。

当供水量恰好为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!的时候,将达到收益最大值,当各个州继续增加调用的水量的时候,收益将减小,这样也可以让各个州的用水量尽量稳定在一个值的附近,不仅使各州收益较大也可以保护科罗拉多河的剩余水量,示意图如下:

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所以我们写出一个索赔函数:

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就是比例系数k乘以5个州总的超额调取水量的【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!次方,然后通过各个州实际超额调用水量按比例进行索赔,综合用水和用于发电的供水两部分考虑,可以得到每个州的实际应索赔函数:

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其中【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!分别代表各州在用水和发电用水过量时的索赔函数。综合两部分来看,可以得到成本函数:

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最后利用净利润公式求出各州的净利润。现在来考虑如何决策分配。如果我们继续考虑集体的总净利润最大,则完全可以把每个州的净利润加起来,求最大值,然后得出每个州的水分的一个分配调动值,但是这样是不是最优的呢?

进一步考虑,集体净利润最大并不代表着每个州各自获得自身的利益最大值,各个州之间并不是合作关系,而是处于一种竞争的态势,所以我们要达到每个州各自利益最大化。因此我们需要运用博弈的思想——考虑纳什均衡。

纳什均衡是指任何一位玩家在此策略组合下单方面改变自己的策略,其他玩家策略不变情况下,都不会提高自身的收益。所以我们利用这个定义来考虑各州行动。各州采用纳什均衡策略行动定义为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,不采用纳什均衡策略定义为【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!,那么第i个州不采用纳什均衡策略,而其他州均采用纳什均衡策略情况下,第i个州的收益【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!会小于等于第i各州采用纳什均衡策略产生的收益:

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每个州都采用纳什均衡策略产生收益【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!就大于其中一任何一个州不采用拉斯均衡策略所产生的收益【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!。每个州都这样考虑,得到最终解。求解纳什均衡产生收益最大值的点也是和求解边际效应思路有点像,我们就可以用收益对供水量求偏导来求出每个州的收益,其偏导等于0时,就得到了对应的某一策略下的利益最大化,可以用牛顿迭代法求解。偏导等式如下:

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第三问,其实在美国的United States Army Corps of Engineers(USACE),已经给出了一个缺水指标:

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缺水指标中【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!是一个常数,它代表的是水资源短缺对州的一个影响的程度。【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!是每个州的缺水量,N就是州的个数,在此题中就是5,然后【学霸原创】2022年美赛B题万字解题思路!是总的缺水的一个体积,然后k是一个指数,根据他们的调查研究可以发现k是近似等于2的,所以我们可以利用缺水指数来求解,即根据各个州的缺水指数按比例进行一个分配即可:

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第四问其实更像是一个开放性的试题,在以下条件下,您的模型表示什么?

o社区对水和电的需求会随着时间而变化。当受影响地区出现人口、农业和工业增长或收缩时会发生什么?

o可再生能源技术的比例超过了您分析中使用的初始值。

o实施了额外的节水节电措施。

①当受影响地区的人口、农业和工业增长时,影响的是对水供应量的需求。需要水供给增加,边际效应对应收益最大时的水需求量上升。墨西哥获得索赔可能会减少并且科罗拉多河剩余水量也减少。

②可再生能源的使用会使水力发电的发电量需求降低,发电用水水流量Q会一定程度下降,水供应中农业工业生活所需用水部分占比增加。

③农业、工业、居民用水和用电量减少,第一问中没有额外水补充系统能维持时间t增加,第二问产生边际效应时的水供应量会减少,墨西哥要求索赔起始供水量会下降。

我们就可以以此来解答。额外指导中“允许多少水(如果有)从科罗拉多河流入加利福尼亚湾。”也可以查询相应资料,考虑科罗拉多河剩余水量足以维持生态平衡还有加利福利亚湾能接收额外水量范围等因素后得出相应范围。

最后题目要求一到两页的文章,介绍你的发现,适合在《干旱与饥渴》杂志上发表,并解释这是一份面向美国西南部水基础设施管理人员的月刊。而发表杂志文章因为受众是水基础设施管理人员等非资深专家人士,而且要符合杂志的文章文体,要有更多的审美元素。

比如可以用更多的对比,更醒目的题目,更丰富的色彩,更简明的内容,使用更多的图片来吸引更多的阅读受众的兴趣,真真正正把理论研究普及化,随着杂志走入他们心中。 最后我们发现像是鲍勃尔湖还有米德湖等湖泊的水位,其实是呈一个逐年下降的趋势的,而美赛此次给出的题目,让我们思考像这些湖泊在逐年的时间的演变中,它的水位越来越低,甚至到了一个很危险的态势,进而引发一系列对水资源分配的竞争。

这道题的求解,我们不仅仅是得到了一个答案,更是让我们主动发现并得到警醒——要保护自然资源。我们人类不能单纯的为了自身的发展而忽略了对自然的保护,对自然的资源造成无法恢复的损害,让我们自身所处的环境越来越恶劣,让我们的后代处于无资源可用的境地,这都是我们需要警醒的。

保护水资源等自然资源不仅仅是保护自己地区内的资源,为了自己以后对资源的使用,更是要在人类命运共同体的框架下进行全球资源的可持续发展的保护运用,这样才可以为自己为子孙后代为全人类的可持续发展做出应有的贡献。

以上即是结合往届优秀论文与自己的灵感后对2022年美赛B题的一点思考。

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