2021年荷兰数学奥林匹克试题中文翻译

注:由于部分字符无法加载导致题目不完成,完整题目截图已经放在文章最后,请自行查看。

  1. Niek有块正方形卡片,每块的一面为黄色,另一面为红色.他将卡片摆成一个的大正方形,其中一些卡片黄色一面朝上,一些卡片红色一面朝上.对于每种摆放方式,如下计算其“单色性”.对每一对有公共边的卡片,按如下规则分别记为或:如果两块有公共边的卡片颜色相同,则记为;如果两块有公共边的卡片颜色不同,则记为.然后将所有得到的数全部相加(结果可能为负).例如,如果将卡片如下图摆放,则存在对有公共边的卡片颜色相同,存在对有公共边的卡片颜色不同.2021年荷兰数学奥林匹克——中文翻译因此,上图的“单色性”为:.Niek考察了所有卡片的摆放方法,并列出所有能取得的“单色性”的值.
    (a)求出Niek列出的数中最大的三个数,并说明理由.
    (b)求出Niek列出的数中最小的三个数,并说明理由.
    (c)求出Niek列出的数中最小的正数,并说明理由.
  2. 有()支队伍参加一次比赛,其中每两支队伍至多进行一场比赛.如果任意四支参赛队伍之间恰好进行了三场比赛,则称这次比赛是“平衡的”.求的最大值,使得存在支队伍参加的“平衡的”比赛.
  3. 一只青蛙在平面上的网格点上跳来跳去,每次从一个网格点跳到另一个网格点.青蛙从点出发,依次进行如下跳跃:水平方向跳跃个单位长度,竖直方向跳跃个单位长度,水平方向跳跃个单位长度,竖直方向跳跃个单位长度求所有的正整数,使得青蛙能在次跳跃后回到点.
  4. 在中,.点为的中点,过作的平行线交于点.的中点为点,.求证:
    (a)和相似.
    (b).

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  1. 正整数满足:对的任意正约数,都有.求证:为素数.

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