Mathematical Reflections 2022年第一期征解题

注:由于部分字符无法加载导致题目不完成,完整题目截图已经放在文章最后,请自行查看。

Junior Problems

J577. 正实数,满足.求证:

J578. 设为正实数,.已知,求的值.

J579. 求所有整数对满足

J580. 求方程的实数解:

J581. 实数,,,满足求证:

J582. 四边形内接于圆,圆心为.直线和相交于点,为的外接圆.直线再次交于点,直线再次交于点.已知凸六边形的面积为.求.

Senior Problems

S577. 整数,,满足.求证:

不为奇数的平方.

S578. 正实数,,满足.求证:

S579. 以,,为三边的三角形面积为.正实数,,满足

求证:

S580. 求证:不存在正整数,,满足

S581. 素数满足.求证:存在正整数满足

S582. 数列定义如下:,,且对于任意,都有

求所有正整数,使得存在,满足.

Undergraduate Problems

U577. 对正整数,计算其中表示的小数部分.

U578. 计算:其中.

U579. 设为整数,为整系数多项式.数列定义如下:对任意,.求证:对任意正整数,存在正整数,使得

对任意足够大的恒成立.

U580. 已知两个半径为且相切的圆,和它们的一条外公切线.左边的圆为白色的,右边的圆为灰色的.第三个较小的圆与较大的两个圆、公切线同时相切,且也是灰色的.按照如下规则插入无穷多个灰色圆:后续的每个圆和它前一个圆、最大的灰色圆、白色圆均相切.求灰色圆覆盖的总面积.

U581. 正实数,且和互素.互异的非常数复系数多项式和满足

求证:,.

U582. 设:为二阶可微函数,:满足.记为的Hessian矩阵,用表示.

Olympiad Problems

O577. 正实数,,,满足

且不存在其中两个数小于,另两个数大于的情况.求证:

O578. 求方程的正整数解:

O579. 正实数,,满足.求证:

O580. 在中,求证:

O581. 设为不等边的非直角三角形.三条高分别为,,,三边中点分别为,,.为的重心,为的九点圆圆心.和交于点,和交于点.已知和平行,求证:平行于的欧拉线.

O582. 为内部一点,为关于的等角共轭点.和分别为和在上的投影.和分别为和与外接圆的另一个交点.求证:和交于直线上.

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