2021年国际奥数竞赛IMO题完整考题-下载

第 1 题. 设整数 n ≥ 100. 伊凡把 n, n + 1, . . . , 2n 的每个数写在不同的卡片上. 然后他将这 n + 1 张卡片打乱顺序并分成两堆. 证明: 至少有一堆中包含两张卡片, 使得这两张卡片上的数之和是一个完全平方数.

第 2 题. 对任意实数 x1, . . . , xn, 证明下述不等式成立:

第 3 题. 设 D 是锐角三角形 ABC (AB > AC) 内部一点, 使得 ∠DAB = ∠CAD. 线段 AC 上的点 E 满足 ∠ADE = ∠BCD, 线段 AB 上的点 F 满足 ∠FDA = ∠DBC, 且直线 AC 上的点 X 满足 CX = BX. 设 O1 和 O2 分别为三角形 ADC 和三角形 EXD 的外心. 证明: 直线 BC, EF 和O1O2 共点.

第 4 题.  设圆 Γ 的圆心为 I. 凸四边形 ABCD 满足: 线段 AB, BC, CD 和 DA 都与 Γ 相切.  设Ω 是三角形 AIC 的外接圆. BA 往 A 方向的延长线交 Ω 于点 X, BC 往 C 方向的延长线交 Ω 于点 Z, AD 往 D 方向的延长线交 Ω 于点 Y , CD 往 D 方向的延长线交 Ω 于点 T . 证明:

AD + DT + TX + XA = CD + DY + Y Z + ZC.

第 5 题. 两只松鼠 B 和 J 为过冬收集了 2021 枚核桃. J 将核桃依次编号为 1 到 2021, 并在它们最喜欢的树周围挖了一圈共 2021 个小坑. 第二天早上, J 发现 B 已经在每个小坑里放入了一枚核桃, 但并未注意编号. 不开心的 J 决定用 2021 次操作来改变这些核桃的位置. 在第 k 次操作中, J把与第 k 号核桃相邻的两枚核桃交换位置. 证明: 存在某个 k, 使得在第 k 次操作中, J 交换了两枚编号为 a 和 b 的核桃, 且 a < k < b.

第 6 题. 设整数 m ≥ 2. 设集合 A 由有限个整数 (不一定为正) 构成, 且 B1, B2, B3, . . . , Bm 是 A的子集. 假设对任意 k = 1, 2, . . . , m, Bk 中所有元素之和为 mk. 证明: A 包含至少 m/2 个元素.

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