2018年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3b题分析

BPhO Section2 的每道大题有几个小问,各个小问之间没有关联。即使 a 小问做不出来,也可以跳过它,尝试后面的 b 小问。这里的 b 小问难度较大,如果能自己做出来就牛了:
b) (i) A particle of mass m is suspended by a thin elastic string of natural length a in which a tension mg would produce an extension a.  Write down an expression for the period of oscillation of mass in terms of a and g.
(ii) Two particles of equal mass m on a smooth horizontal table are connected by the same thin elastic string of natural length a.  The particles are held at rest at a distance 3a apart.
i. Describe their motions between the time they are released and when they collide.
ii. If the particles are released simultaneously, calculate the time elapsed before they collide, given a = 0.20 m.

答案解析:
b) (i) 小问阐述了一个质点挂在细弹性绳上的情况。绳的原长为 a,质点的重力 mg 使绳再伸长 a 的距离,求质点在绳上振动的周期。大致情形如下图所示:

2018 BPhO Section2 Question3b
这道题的关键在于 thin elastic string,thin 暗示了不计绳的质量,而 elastic 表明类似于弹簧,绳上的张力 T 和偏离平衡位置的位移 x 存在简单的正比关系,即:

2018 BPhO Section2 Question3b上式中的负号代表绳中张力的方向与位移方向相反。
上图中挂上小球后,小球重力使弹性绳向下拉伸了位移 x = a,到了新的平衡位置 O’,静止时重力 mg 和绳的张力 T 刚好大小相等,可列式:
2018 BPhO Section2 Question3b上式推导过程中,我们用到 T = -kx,但忽略了其中的负号,因为是力的大小的相等,不需考虑力的方向。k 求出来,绳中的张力公式就有了:
2018 BPhO Section2 Question3b
这道题让求质点(或认为图中小球)在绳上振动的周期,我们先要清楚它是怎么振动的?平衡位置在哪儿?
所谓平衡位置是指小球合外力为 0 处,即上图中的 O’ 点;要明确振动的平衡位置不是绳的自然长度,即上图的 O 处,因为在这点小球合力不为 0.  所以小球是在平衡位置 O’ 上下往复振动的。

接下来要明确这个振动是不是简谐振动? 简谐振动的最重要的条件是:

2018 BPhO Section2 Question3bIn a simple harmonic motion (SHM), the acceleration of oscillating particle is proportional and opposite to its displacement.
小球在上下振动中受竖直向下的重力 mg,和向上的弹簧弹力 T,设竖直向下方向为正。当小球拉离平衡位置 O’ 点的距离为 x 时,弹簧总伸长为 x+a,那么作用在小球上的合外力 Fnet:

2018 BPhO Section2 Question3b再根据牛顿第二定律就能找到 a 和 x 的关系了:
2018 BPhO Section2 Question3b
注意上式中等式左右的两个 a 是不一样的,等式左边的 a 代表加速度 acceleration,单位是 2018 BPhO Section2 Question3b;而右边的 a 是题目中给的已知长度,单位是 m,这两个 a 不要混淆。
上式右侧的 g 和 a 都是常数,可见加速度 a 和位移 x 满足正比、反向的关系,这是个简谐运动,继而可套用 BPhO 公式表中提供的简谐运动公式:
2018 BPhO Section2 Question3b就有:

2018 BPhO Section2 Question3b角速度 ω 算出来了,周期 T 迎刃而解:
2018 BPhO Section2 Question3b
b) (ii) 小问和 (i) 小问的相同点是弹性绳没有变,不同是将两个质量同为 m 的质点用原长为 a 的绳连接,并把绳水平抻长到 3a 的长度,如下图:

2018 BPhO Section2 Question3b
绳长为 3a 时绳明显是张紧的,在这个状态下由静止释放两个质点(或认为是小球),绳子肯定要收缩,最终两个质点撞到一起。
具体来看,两个小球先是在绳张力的作用下,加速靠拢,又由于两小球对称,所以两者速度大小始终相等;在绳收缩的过程中,绳给小球的力是越来越小的,所以加速度大小在不断减小;直到绳恢复到原长 a 以后,不再给两小球任何力,这时小球会由于惯性,做匀速直线运动,最终撞上。用英文来阐述:

The particles move towards each other with equal speeds;
The particles accelerates towards each other, and the acceleration decreases with time;
At a separation of a (the natural length of the string), the particles move with constant speed.

第二问已知 a = 0.20 m,问从由静止释放到两小球碰撞所用的总时间。
为了简化问题,由于两小球的运动完全对称、是镜像的,我们只需研究其中一个小球,也就是只看下图中的右侧一半,小球从 (3/2)a 处释放,一直运动到绳中点 A 点的过程;
小球在整个过程中有两种运动:首先是在弹性绳弹力作用下作简谐运动 (SHM),然后当绳收缩到原长 a,即下图小球距离 A 点 (1/2)a 以后,绳松弛了,小球不再受到绳的张力,随后做匀速直线运动。
2018 BPhO Section2 Question3b

这里要注意的一点:当我们研究一半长度的绳时,绳的劲度(或弹性)系数 k 发生变化。虽然在上一问中求出了 k = mg / a,但这是整根绳的劲度系数 k。现在研究的是半根绳,即使同样的材料,如果绳(或弹簧)的长度不同,劲度系数也不一样。这里我们就要用到弹簧的串、并联公式,若两个劲度系数分别为 k1、k2 的弹簧串联,如下图:
2018 BPhO Section2 Question3b
那么整体的劲度系数 k:
2018 BPhO Section2 Question3b弹簧的串联公式和电阻的并联很相似。
若两个劲度系数分别为 k1、k2 的弹簧并联,如下图所示:
2018 BPhO Section2 Question3b
那么整体的劲度(或弹性)系数 k:
2018 BPhO Section2 Question3b
弹簧的并联公式和电阻的串联很相似。
在这道题中,我们知道长度为 a 的绳弹性系数是 k = mg / a,现在要求长度为原来一半时绳的弹性系数。那么可以把原绳当做两个弹性系数为 k’ 的绳串联,如下图:
2018 BPhO Section2 Question3b
根据弹簧串联公式有:
2018 BPhO Section2 Question3b
这就是半根绳的弹性系数。
2018 BPhO Section2 Question3b
下面先研究一个右侧小球从距上图 A 点 (3/2)a 到 (1/2)a 的简谐运动所需时间。我们知道而 (3/2)a 为小球释放的位置,即最大振幅处; (1/2)a 为弹性绳原长处,此位置小球水平方向受力为 0,为平衡位置。所以该振动的振幅 Amplitude = (3/2)a - (1/2)a = a。
小球由最大振幅处到平衡位置的简谐运动,相当于完成了四分之一个完整振动,所需时间 t1 也即四分之一个周期。BPhO 公式表给出了弹簧简谐运动的周期表达式:
2018 BPhO Section2 Question3b这里研究的是半根弹性绳,弹性系数 k’ 代入上式得:

2018 BPhO Section2 Question3b
小球从最大振幅到平衡位置所需时间 t1 即四分之一个周期:
2018 BPhO Section2 Question3b第二个过程是小球从上图距离中心 A 点 (1/2)a 处一直运动到 A 点的过程。很简单,是个匀速直线运动,距离 s2 = (1/2)a,只要知道初始速度,就可求出时间。
而初始速度需要通过上一段的简谐运动来求,比较简单的方法是通过能量转换公式,绳的弹性势能转换为小球的动能。由于是简谐运动,所以弹性势能:
2018 BPhO Section2 Question3b式中的 k 同样是半根绳的弹性系数。那么小球在最大振幅处 (x = amplitude = a) 的弹性势能完全转化为小球平衡位置处的动能,有:

2018 BPhO Section2 Question3b所以第二段匀速直线运动的时间 t2 :
2018 BPhO Section2 Question3b两段运动的总时间 t:
2018 BPhO Section2 Question3b

【竞赛报名/项目咨询请加微信:mollywei007】

上一篇

BPhO英国物理竞赛中的常数与公式

下一篇

2018年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3c题分析

你也可能喜欢

  • 暂无相关文章!

关注热点

返回顶部