2014年英国物理奥赛BPhO Section1 (e)题解析

英国物理奥赛 (BPhO) 分为两个 Section,其中 Section 1 包含十几道小题,所有题目总分一般在 70 至 90 分之间,每年总分都不一样。但 Section 1 的试卷满分是 50 分,也就是说在这 70 至 90 分的题目之中,你只需要把 50 分的题目做对即可,做得再多就没有用了,卷面满分不会超过 50 分。相当于只需要选择 50% 至 60% 的题目来做,选你会的。Section 1 小题的特点是覆盖的知识面广,但难度并不大;特别是和 Section 2 的大题相比,Section 1 的小题难度要小不少。
2016年以前 Section 1 是 80 分钟完成 40 分儿的题,相当于 2 min/mark,每一分儿对应 2 分钟的作答时间。2017 年以后要求在 80 分钟内完成 50 分儿的题,相当于 1.6 min/mark,即每一分儿的题有 1.6 分钟的作答时间。下面是 2014年 BPhO Section1 的 (e) 小问,(e) 小问分值 6 分,也就是说真实考试时你要奔着 Section 1 的满分去,就至少要在 12 分钟内完成它。下面来看题吧:

(e) Two 1.00 m lengths of wire, one copper and one tungsten, are joined vertically end to end.  The copper wire has a diameter of 0.500 mm.  When a 100 kg block is suspended from one end, the combined length of wire stretches by 6.00 cm.  What is the diameter, d, of the tungsten wire if the Young's modulus for copper is 2014 BPhO Section1 (e),and that for tungsten is 2014 BPhO Section1 (e).

答案解析:这道题考的是杨氏模量 (Young's modulus),根据题意我们还是先画个图比较直观:
2014 BPhO Section1 (e)
左上图中铜线 (copper wire) 和钨线 (tungsten wire) 首尾相连,为了方便看清,就把线画得粗很多,铜线的直径用 “dc” 标注在图中。
右上图是两条线由于挂了重物伸长的情景,也是把图画得夸张了一些,能看出线明显伸长了(实际中 6 cm 的伸长量相对于 2 m 的总长度用肉眼不容易看出来)。 铜线和钨线伸长的长度分别在图中标注为 Δxc 和 Δxt,两条线一共伸长了 6 cm = 0.06 m,所以:
2014 BPhO Section1 (e)
由于题中给了两种材料的杨氏模量,我们就先把杨氏模量的公式分别列出并展开,用小标 "c" 表示 copper,"t" 表示 tungsten 有:

2014 BPhO Section1 (e)
上式中两线的原长 l0 都是 1 m。A 代表线的横截面积,题中已知横截面的直径 d,所以用圆的直径 d 来展开其横截面积 A:
2014 BPhO Section1 (e)因为铜线和钨线串联,那么两线中的张力 F 就都是重物的重力,有:
2014 BPhO Section1 (e)
注意上式中重力加速度 g 的大小我们没有代 10,而是代的 9.81,是因为题目中给的已知精确到了三位有效数字,所以我们代入的常数也尽量精确到三位有效数字。题中又给了铜线和钨线的杨氏模量分别为 2014 BPhO Section1 (e) 和 2014 BPhO Section1 (e)。将上述所有已知代入到杨氏模量公式中:

2014 BPhO Section1 (e)
上式中铜线直径 dc = 0.5 mm,而钨线直径 dt 是这道题的问题。我们又知道了Δxc 和 Δxt 的关系,即:2014 BPhO Section1 (e)。那么可以把上式中 Δxc 和 Δxt 移到等式左边,其余的移到等式右边、并代数化简:
2014 BPhO Section1 (e)
继而根据铜线直径 dc = 0.5 mm = 2014 BPhO Section1 (e)2014 BPhO Section1 (e) 将上述两式联立即可求出钨线直径 dt:
2014 BPhO Section1 (e)
由于题目中给的是三位有效数字,所以最终的答案也要保留三位有效数字。过程中我们可以尽量精确一些,保留到四位有效数字。
这道题从物理的角度来看并不难,其实就是把杨氏模量公式进行展开,解题思路比较固定、模板化;而从数学的角度来看,计算量则比较大。这也是英国物理奥赛 (BPhO) 的特点,对考生的数学计算能力要求比较高。若想在 BPhO 的 Section 1 中拿满分,需要12分钟内完成此题,这么大的计算量实属不易!好消息是你不需要拿满分,也能在 BPhO 中获奖。

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