巴西数学奥林匹克压轴题与Beatty定理的理解

这个月的每月一题，很想聊一下今年BNO(Brazil National Olympiad)的最后一题，巴西数学奥林匹克长期以来被伊朗盖过了它的几何题目价值，又被波兰垫高了它的难度（有兴趣的读者不妨看一眼最近几年的波兰MO，实在是过于简单）。

今年的BNO提供了一个非常有价值的问题，它的思想取自一个很陈旧的定理，但实际解答时是用不上这个定理的，下面我们来看一下这道BNO的压轴题：

下面还有另一种猜出答案的方式，当然这需要学生对Beatty或者这道题目有一些更深刻的理解了：