2018年英国物理奥赛BPhO 18 Question2 d题解析

明天就是 BPhO first round 的考试,毕竟是很权威的物理奥赛,强度自然不小。希望报名参赛的同学们调整好自己的身心状态,考前建议熟悉一下公示表中的各个公式、多做做前面相对容易的小题、将力、热、声、光、电等知识点在脑海中串起来,保持轻松的心态。

今天带给大家的题是 2018年 Section2 部分 Question 2 中的 d) 问,是个关于两个天体的质心、重力场、等势线、引力势能的题,难度还是相当了得。在 BPhO 竞赛前的几个小时,不建议大家再做太多这样难度的题目,因为会使你的思路很紧绷;如果想不明白,也会影响到竞赛时的信心。下面看题吧:

d) A planet of mass Mp has an orbiting moon of mass Mm.  The mass of the moon is about 1/8 the mass of the planet.
(i) Sketch a set of equipotential lines for the planet-moon system. Ignore the orbital motion of the moon.  Without detailed calculation, indicate on your sketch the relative positions of the neutral point (a point of zero field strength) and the centre of mass of the planet-moon system.

A rocket of mass m is launched from the planet.  The rocket engine is used very briefly at take-off when it is close to the planet's surface, and it almost immediately reaches speed v, after which the fuel is exhausted and there is no further propulsion.  It is then in free-fall and will have just enough energy to reach the moon.  Assume that you can ignore relative motion of the planet and moon, and ignore air resistance.

Obtain expressions and calculate values for:

(ii) The distance, d, from the planet's centre, where the speed of the rocket is lowest.

(iii) The launch speed v of the rocket from the planet, in terms of the variables Mp, Mm, the radius of the planet, Rp, and the separation of the centres of the moon and planet, D.

For this question part, you may take BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量,BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量.
(9)

答案解析:
第 (i) 问是 d) 问中最难的小问,场景是一个行星 (planet) 和它的卫星 (moon),moon 是 planet 质量的八分之一。让画出它们的等势线 (equipotential lines),并指出质心和重力场零点的位置。

先画等势线,由于等势线垂直于重力场线 (gravitational field lines),所以我们可从比较熟悉的重力场线画起。如果是两个质量相同、均为 M 的星球,它们之间的重力场线比较好画,如下图:
BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
重力场线向内指向两星球,而且在两星球中间位置处,场线比较密集。由于质量相同,重力场线在两星球连线的中点处强度为零,左右两侧是对称的。
本题中说 moon 只有 planet 质量的八分之一,根据重力场强公式:

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
质量 M 越大的星球,周围的重力场显然越大,所以重力场线就越密;而质量只有 planet 八分之一的 moon 附近的重力场就相对较弱,附近的场线相对疏松。
在实际开始画场线之前,根据以上公式我们还可以推出两物体之间重力场为零的点。如下图,在两星球的连线上建立一个 x 轴,假设两星球距离为 D:

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
由于 planet 给中间区域向左的重力场 gp,而 moon 给中间区域的重力场 gm 是向右的,所以两者连线中必有一点 A,在此处场强 gp 和 gm 相互抵消,即 g = 0。如上图,假设 A 点距 planet 距离为 x,列式有:
BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
可见,重力场强为零的 A 点大约在距离 planet 0.6D 的位置,据此,我们可以画出红色的重力场线:

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
上图中由于 planet 质量较大,附近的重力场线要画得相对密集一些。由于等势线处处垂直于重力场线,我们可在重力场线的基础上画出蓝色的等势线如下:
BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
上图中 A 点即为重力场强为 0 的点,本小问还要点出两个天体质心的大致位置。粗略估计,与 moon 相比,planet 质量更大,所以质心应该在两者连线中点的左侧。但为了复习一下质心公式,我们做个简单计算,还是假设 planet 为原点 x = 0,moon 与 planet 的距离为 D,那么可列式计算质心的位置 x:

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
可见,质心在距离 planet 向右 (1/9)D 的位置,在下图中以 B 点表示:
BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量

(i) 问中,无论是质心 (B 点)、还是重力场零点 (A 点) 的位置,都不需要我们计算,只需要定性在图中点出即可。但为了思路清晰,我们还是进行了计算,这也方便了做第 (ii) 小问。

第 (ii) 问是从 planet 向 moon 发射一枚初速度为 v 的 rocket,这枚火箭刚刚好能抵达 moon,问我们这枚火箭在哪儿的速度最小。场景如下图:

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
图中 A 点为重力场强零点,此点 planet 和 moon 的重力场相抵消。那么在 A 点左侧,由于距离 planet 更近,所以 planet 的重力场更强势,合场强向左。也就是说在 A 点左侧,rocket 受到的合力向左,是个减速过程。而 A 点右侧距 moon 更近,moon 的重力场更强势,所以合场强向右,这一段 rocket 加速。因此,rocket 先减速、经过 A 点后再加速,在 A 点拥有最小速度。A 点位置的表达式我们在 (i) 小问中已经求出来了,代数到之前红框中的公式即可求出 distance:

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
即为 (ii) 小问答案。

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
第 (iii) 问涉及到能量守恒,如上图,如果想让 rocket 从 planet 表面 C 点飞到 moon,那么在 C 点处的动能 加 引力势能,应该至少等于在 moon 处的动能 加 引力势能。
但本小问的一个难点在于 rocket 是先减速到 A 点,然后再加速的,所以我们需要满足 rocket 能达到 A 点,到了 A 点以后加速就一定能达到 moon 了。因此,要列的是从 C 点到 A 点的能量守恒方程。
在 planet 表面 C 点处,rocket 的能量有:自身的动能、planet 给予的引力势能、以及 moon 给予的引力势能,所以在 C 点的总能量 Ec 有:
BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
若想将将达到上图中的 A 点,那么在这个临界情况下,rocket 在 A 点的速度是 0,rocket 的总能量 EA 就是 planet 和 moon 给它的引力势能:
BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
从 C 点到 A 点应满足能量守恒,列式即可求得速度 v 的表达式:

BPhO 18 Question2 d) 天体的等势线与能量
上式中我们唯有 planet 的半径 Rp 不知道,可能是出题者忘了给。但写到这儿,本题大部分的分也拿到了。

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