2021年普林斯顿数学竞赛PUMaC组合组中文翻译

A组

  1. 在正八边形中随机选择两条不同的对角线,设这两条对角线在正八边形内部相交的概率为,和为互质的正整数,求的值.

  2. 个人排成一队进入杂货店,其中人戴黑色口罩,人戴灰色口罩,人戴白色口罩.假设所有人按照随机的顺序排队,相邻且戴不同颜色口罩的二人组个数的期望为,和为互质的正整数,求的值.

  3. Nelson让他的朋友从一栋英尺高的建筑物上扔下他独特的弹力球,而Nelson只会在每次球弹到最高点时接住球.在每次反弹中,弹力球能达到的最高点有的概率为上一次最高点高度的,有的概率为上一次最高点高度的倍(初始高度为英尺).若Nelson只能接住英尺高度的球,且他会尽快接住球.设Nelson在球恰好反弹次时接住的概率为,其中,,,,均为整数.求的值.

  4. 编号为,,,的片睡莲从左到右拍成一行.一只青蛙随机选择一片睡莲开始,每过一秒跳到一片相邻的睡莲上.如果存在两片睡莲,当青蛙在其上时,向右跳的概率是向左跳的两倍.且在有限秒之后,存在两片睡莲和,使得青蛙在上的概率为在上概率的倍以上.求最小的,使得该情况一定会发生.

  5. 一台普林斯顿老虎机上有张图片,每张出现的概率相同,其中一张图片为老虎.Alice和Bob独立地进行游戏,直到看见老虎的图片后停止.已知Bob所用时间为Alice的两倍,设Alice的游戏次数的期望为,和为互质的正整数,求除以的余数.

  6. Alice,Bob和Carol进行一个游戏.每一回合,他们其中一人说出名玩家的名字之一,从Alice,Bob,Carol中随机选择.游戏从Alice开始,Bob第二,Carol第三,接下来重复这个顺序.设首次出现三个名字都被说出次时的回合数期望为.设,和为互质的正整数,求的值.

  7. Cassidy有一个由和构成的位字符串,其中为正整数,每次Cassidy选择以下两个操作之一:

  • 将第一位改变(即将变成,或者将变成);
  • 将第一个的后一位改变.

设为Cassidy将改变为(均为位)所需要的最少次数,为最终能改变为的为字符串的个数.求的值.

  1. 普林斯顿大学的物理学家们正在尝试使用以下实验分析原子纠缠.开始时,空间中只有一个原子,它按照以下程序开始分裂.若在分钟后存在原子,,,在下一分钟每个原子分裂成四个新的原子,,,.原子和是纠缠的,当且仅当原子和在第分钟后是纠缠的.此外,对任意,,原子和原子也是纠缠的.在第一分钟后有个原子,在第二分钟后有个原子,依此类推.
    物理学家们对其中有奇数对纠缠原子的四原子无序集感兴趣.请问:分钟后有多少个这样的四原子无序集?
    注:请注意原子纠缠不是传递的.换言之,若和纠缠,和纠缠,不意味着和纠缠.

B组

  1. 如果在一个非空单词中,元音字母(A、E、I、O、U)和辅音字母(其余所有字母)交替出现,则称它为可发音词.不重复地使用字母P、U、M、A、C,最多能组成多少个可发音词?单词的长度可以小于.

  2. Neel和Roshan将前往纽瓦克自由国际机场各自搭乘航班.Neel计划在早上5:30到6:30之间的某个随机时间到达,而Roshan计划在早上5:40到6:40之间的某个随机时间到达.两人想在机场安检前短暂见面.因此,他们约定每个人在到达机场后将等待分钟,再通过安检.设使得他们至少有的概率见面的的最小值为的形式,其中,,均为整数,且无以外的平方因子.求.

  3. 同A组第1题

  4. 同A组第2题

  5. 同A组第3题

  6. 同A组第4题

  7. 同A组第5题

  8. 同A组第6题

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