复数是怎么来的？
在我们的常识中，任何数的平方都不可能为负。这导致像 x2+1=0 这样的方程，在实数范围内是无解的。
为了解决这个问题，数学家们勇敢地定义了一个新的数：虚数单位 i，并规定 i^2=−1。
有了 i，我们就可以创造出复数：z=a+bi。其中，a 是实部 (real part)，b 是虚部 (imaginary part)。
●实部 a代表了我们所熟悉的数轴上的位置。
●虚部 bi则代表了垂直于数轴的另一个方向。
你可以想象，复数 z=3+4i 就是在平面上一个点，从原点出发，先向右走 3 步，再向上走 4 步。这个平面，就是我们所说的复平面 (Argand Diagram)。
复数的运算：不只是加减乘除，更是旋转与伸缩
复数不仅可以进行加减乘除，它的乘法和除法还具有独特的几何意义，这正是它强大的根源。
01、加法与减法：向量的位移
复数的加减法很简单，只需将实部和虚部分别相加减。
例 1： 设 z1=2+3i，z2=4+i
● z1+z2=(2+4)+(3+1)i=6+4i
从几何上看，这就像两个向量的首尾相接，得到一个新的向量。
02、乘法：旋转与伸缩的魔法
复数的乘法才是真正有趣的部分。一个复数乘以另一个复数，相当于将它在复平面上进行旋转 (Rotation) 和伸缩 (Scaling)。
例 2： 设 z=3+4i。我们来看看 z 乘以 i 会发生什么。
● z×i=(3+4i)i=3i+4i2=3i+4(−1)=−4+3i
在复平面上，从 3+4i 到 −4+3i，向量恰好逆时针旋转了 90 度。
例 3： 设 z1=1+i，z2=1+3i。
● z1×z2=(1+i)(1+3i)=1(1)+1(3i)+i(1)+i(3i)
● =1+3i+i+3i2=1+(3+1)i−3
● =(1−3)+(3+1)i
虽然结果看起来复杂，但在复平面上，这个乘法操作将两个向量的角度相加，模长相乘，这是复数乘法最核心的几何意义。
03、除法：旋转与伸缩的逆运算
复数的除法是乘法的逆运算，它利用共轭复数来简化计算。
例 4：设 z1=2+3i，z2=1−i。求 z1/z2。
● 我们用 z2 的共轭复数 z2*=1+i 来进行运算：
● z2z1=1−i2+3i=(1−i)(1+i)(2+3i)(1+i)=12−i22(1)+2(i)+3i(1)+3i(i)
● =1−(−1)2+2i+3i−3=2−1+5i=−21+25i
Further Maths 还有很多有意思的知识
复数只是 Further Maths 的冰山一角。它还有矩阵 (Matrices)、向量 (Vectors)、微分方程 (Differential Equations) 等诸多内容。
学习 Further Maths 最大的收获，在于它能训练你用一种更抽象、更高级的思维去解决问题。它让你看到数学在计算机科学、物理、工程学和经济学等领域的真正力量。
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