2026 年 HMMT November 于 2026 年 11 月 7 日举行．保留各轮原题号．
题目 · General（综合轮）
第1题 · GEN
下图的方格表中，每个格子都填入一个一位正整数，且任意两个相邻格子中的数之差的绝对值为或．求八个数的和．
第2题 · GEN
设为正实数，直线与抛物线相交于两点，这两点的横坐标相差，纵坐标相差．求．
第3题 · GEN
猴子 Eric 一开始没有香蕉．每天早晨，Eric 可以选择去超市买一把恰好有根的香蕉，每天至多买一把．Eric 至多只能去超市次．每天晚上，Eric 必须吃掉根香蕉，否则就会死去．求 Eric 能够存活个晚上的购香蕉方案数．
第4题 · GEN
如图，面积为的正方形沿直角三角形的斜边放置．已知到直线的距离分别为，求．
第5题 · GEN
设是使和都为正有理数的唯一实数．求．
第6题 · GEN
设为锐角三角形的外心，为边上的点，满足、．已知，求．
第7题 · GEN
一个的单位正方形方格表，其行、列依次编号为至．删去行号和列号均为偶数的所有格子．求将剩余图形分割为边长都是整数的矩形的方案数．
第8题 · GEN
如图，六个半径为的圆按图示方式排列，每个圆都与另两个圆相切．这些切点构成一个圆内接六边形的六个顶点，其外接圆半径为．求这个六边形的面积．
第9题 · GEN
设为正整数数列，满足，且
求除以的余数．
第10题 · GEN
HMMTland 国有座城市．工程师计划在每一对城市之间修建一条隧道，并将互不相同的建设费用随机分配给这些拟建隧道，每一种分配等可能．每座城市只资助与它相连的、费用最低的那条隧道．一条隧道只要获得至少一座城市的资助就会建成；若获得不止一座城市资助，也只修建一次．求最终隧道系统的连通分量数的期望．
（连通分量是城市的一个极大非空集合，其中任意一座城市都能沿已建隧道到达集合中的任意另一座城市．）
题目 · Theme（主题轮）
第1题 · THM
Moana 把四块长方形木板绑在一起，搭成一个正方形木筏．所有木板的边长都是整数，其中三块的面积分别为，位置如图．求第四块木板的面积．
第2题 · THM
Ariel 正在整理她收集的人类宝物．她的 dinglehopper 可以恰好分成每组件，snarfblatt 可以恰好分成每组件．将这两类宝物合在一起，又可以恰好分成每组件．求 Ariel 收藏的这两类宝物的非零总件数的最小可能值．
第3题 · THM
Jasmine 正在为飞毯设计新图案．她的第一稿是一个正方形．要画第稿，她从第稿出发，对图中由线段围成的每一个多边形区域，将其各对相邻边的中点用线段连接．前三稿如图，分别包含个多边形区域．求第稿中的多边形区域数．
第4题 · THM
经历最近的一些事情后，Snow White 决定重新开始吃苹果．她在第天吃个苹果．对每个正整数，她在第天吃的苹果数，是此前所有天吃的苹果总数的倍．求她在第天吃的苹果数．
第5题 · THM
Rapunzel 的头发又长得太长，于是她决定在接下来的天里每天剪发．第一天开始时，她的头发长英尺．她先选定一个正整数．然后在第天，先剪去英尺，再剪去剩余头发长度的．假设头发不会重新长出，且这天每天结束时，头发长度都是整数英尺．求的最小可能值．
第6题 · THM
Raya 骑着龙 Sisu 在 Kumandra 上空飞行时，发现一座想要前往的小圆岛．起初，她们位于点的正上方．岛屿由所有满足的点组成．无风时，Sisu 可以沿任意方向以每小时个单位长度的速度飞行．此外，风沿轴正方向以每小时个单位长度的恒定速度推动 Sisu．求她们到达岛屿任一点正上方所需的最短时间，以小时为单位．（假设整个飞行过程中高度不变．）
第7题 · THM
Mulan 命令名士兵站成一排．每名士兵独立地、等可能地指向自己相邻士兵中的一人．求恰有对相邻士兵互相指向对方的概率．
第8题 · THM
Cinderella 的南瓜马车由两个圆形车轮和一个圆形南瓜组成，三者都与同一条线段相切．马车停在平地上时，南瓜的最左点位于左轮最右点的正上方，南瓜的最右点位于右轮最左点的正上方．两轮半径分别为，且整辆马车的高度为．求南瓜的半径．
第9题 · THM
求满足和的唯一正整数三元组．
第10题 · THM
Merida 在城堡墙上画了一个边长为个单位长度的等边三角形，并尝试向三个顶点各射一箭．然而三箭分别落在，且它们到的距离分别为个单位长度．此外，三角形与三角形的重心重合．求三角形面积的最大可能值．
题目 · Team（团队轮）
第1题 · TEAM（20分）
Jerry 和 Sophie 各自得到一个数．两人都被告知以下信息：
- 他们的数是到之间（含端点）的两个不同整数．
- Jerry 的数是 Sophie 的数的某个整数次幂．然而，仅根据这些信息，两人都无法确定对方的数．求这两个数之和．
第2题 · TEAM（25分）
当遍历所有正整数时，求表达式
所能取到的最小整数值．
第3题 · TEAM（30分）
点分别在两条平行直线上．点位于两平行线之间，满足，且位于直线的同一侧．已知与的夹角为，与的夹角为，且．求的度数．
第4题 · TEAM（35分）
正整数数列满足，且对所有整数，有
求小于、且能表示为某个（其中为正整数）的正整数的个数．
第5题 · TEAM（40分）
一个正圆锥的顶点为，底面半径为，高为．两个互相垂直的平面分别沿线段与圆锥侧面相切，其中位于圆锥的底面圆周上．求．
第6题 · TEAM（45分）
已知均为大于的整数，且是整数．求的最小可能值．
第7题 · TEAM（45分）
Alice 有个球和个盒子，球与盒子都分别编号为．她要在每个盒子中恰好放一个球，并且恰有一个球的编号严格大于所在盒子的编号．求满足条件的放法数．
第8题 · TEAM（50分）
在三角形中，．在线段上选取点．点满足、，且四边形是以为对称轴的筝形．选取使最大，求此时的．
第9题 · TEAM（50分）
实数满足
求．
第10题 · TEAM（55分）
用图示的 O 型四格骨牌、T 型四格骨牌和 L 型三格骨牌铺满一个的方格板，设铺法数为．求除以的余数．（骨牌可以旋转；只要两种铺法在旋转或反射后才相同，就仍视为不同铺法．）
题目 · Guts（团队限时轮）
第1题 · GUTS（5分）
在下图的方格中，每格填一个非负的一位整数，使任意相邻两格内的数之积都能被整除．求九个数之和的最小值．
第2题 · GUTS（5分）
如图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形．以直角边、为边的正方形的周长分别为、．求以斜边为边的正方形的周长．
第3题 · GUTS（5分）
求由三个字母、三个字母和三个字母组成的九字母字符串的个数，要求每个都与另一个直接相邻，每个都与另一个直接相邻，每个都与另一个直接相邻．
第4题 · GUTS（6分）
求最大的两位正整数，使为完全平方数．
第5题 · GUTS（6分）
如图，三个半径为的四分之一圆置于一个较大的四分之一圆内．求阴影部分的面积．
第6题 · GUTS（6分）
白雪公主与七个小矮人围坐一圈，面向圆心．最初白雪公主持有一个装着个苹果的篮子，其中个有毒，其余无毒．每分钟，持篮者从篮中剩余的苹果中等可能地随机选取一个吃掉，再将篮子递给左边的人．各次选择独立进行，这个过程在有人吃到毒苹果时停止．求白雪公主没有吃到毒苹果的概率．
第7题 · GUTS（7分）
实系数二次多项式满足及．求．
第8题 · GUTS（7分）
Jason 将一个正方形分成个单位正方形，并去掉其中个，得到下图的“井”字形区域．他在该区域内画一条线段，允许线段接触区域边界．求这条线段可能的最大长度．
第9题 · GUTS（7分）
Hannah 有支颜色各不相同的彩色铅笔，它们构成对互补色．她随机给一面由三条水平色带构成的旗帜涂色，要求三条色带颜色两两不同．求任意相邻两条色带都不是互补色的概率．
第11题 · GUTS（8分）
Mark 将一枚公平的六面骰子掷次，按顺序记录点数，组成一个六位数．求这个数是的倍数的概率．
第12题 · GUTS（8分）
求最小的正整数，使下列五个整除关系同时成立：
第13题 · GUTS（9分）
一条环形项链由颗红珠和颗绿珠串成．Stella 将其切成珠数相等的两半，并取走其中一半．已知对所有切法而言，她所取的一半中红珠数的最小值为，绿珠数的最小值为．在所有满足条件的珠子排列中，求的最大可能值．
第14题 · GUTS（9分）
实数成等比数列，且、．求．
第15题 · GUTS（9分）
如图，一个等边六边形被分成一个正方形和两个菱形．已知两个菱形的面积分别为和，求这个六边形的边长．
第16题 · GUTS（10分）
设是满足下列条件的最小正整数：，且对的任意正因数，的正因数个数也是的因数．求．
第17题 · GUTS（10分）
星期一，Steve 在黑板上写下一个非零的一位数，且它是的倍数．之后每天，他都在当前数的任意位置插入一个非零数字，可以插在最前面、中间或最后面，并要求新数仍是的倍数．求星期四黑板上可能出现的四位数的个数．
第18题 · GUTS（10分）
点在线段上，为三角形，且、．点在直线上，满足，且位于之间．求的最小可能值．
第19题 · GUTS（11分）
四个正的最简分数、、、满足
已知、、，求的最小可能值．
第20题 · GUTS（11分）
在三角形中，．圆以为圆心，并经过边的中点．已知过、分别可以作圆的两条互相平行的切线，且点到直线的距离为．求圆的半径．
第21题 · GUTS（11分）
求由字母组成的长度为的字符串的个数，要求其形如的连续子串个数与形如的连续子串个数相等．
第22题 · GUTS（12分）
求整数
的十进制各位数字之和．其中表示不超过的最大整数．
第23题 · GUTS（12分）
若由互不相同的正整数组成的集合满足：对任意有序三元组（三个元素可以相同），都有，则称为“整除丰富集”．求最小的正整数，使某个恰有个元素的整除丰富集包含．
第24题 · GUTS（12分）
Gregasaurus 有一张边长为的正方形纸，其中一个顶点标有红点．一次折叠包含以下步骤：
- 选一条经过正方形内部的直线，将正方形分成两部分．
- 任选其中一部分，将其关于反射．
他恰好折叠一次．求最小区域的面积，使无论怎样折叠，红点都一定落在中．
第25题 · GUTS（13分）
设是次数不超过的多项式，且对于所有，有．求．
第26题 · GUTS（13分）
Sophia 从一个的点阵中等概率地选出个点．已知每行、每列恰有个点被选中，求所选点中有个构成边与点阵行列平行的矩形的概率．
第27题 · GUTS（13分）
Crystal 在日记里写下两个五位正整数，十个数字各使用一次，且不允许有前导零．求这两个数之差的绝对值的各位数字之和的最大值．
第28题 · GUTS（15分）
一百名玩家玩一个游戏．玩家的硬币正面朝上的概率为．第轮由玩家抛自己的硬币，其中下标按模循环．若正面朝上，游戏立刻结束，该玩家获胜；否则轮到下一名玩家．已知每名玩家获胜的概率都是，且，求．
第29题 · GUTS（15分）
凸五边形的面积为，且，边长满足、、、、．求．
第30题 · GUTS（15分）
存在一个实系数二元多项式，其总次数不超过，且为下表第行、第列的数．这里行从下往上编号，列从左往右编号．
求，即表格右上角的数．
第31题 · GUTS（17分）
设为圆内接四边形，射线、相交于，射线、相交于．三角形、、、的内切圆半径依次为．求四边形的面积．
第32题 · GUTS（17分）
Mark 有一个质量为克的放射性小球．在第分钟，每个放射性小球都有的概率分裂成两个放射性小球，每个新球的质量都是克，不论原球的质量以及原球何时产生．求分钟后所有小球总质量的期望，单位为克．
第33题 · GUTS（17分）
的十进制展开的循环节长度为．求这个循环节内各位数字的平方和．
第34题 · GUTS（20分）
Krad 从数开始．每一步，若当前数为，就从的所有正因数中等概率选一个，替换当前数．设步后当前数为的概率是，估计．
请提交一个实数．若正确答案为，得分为．
第35题 · GUTS（20分）
Sam 有一块标准的黑白相间棋盘．随后，他以的概率将每个白格涂黑，各白格是否涂黑相互独立．估计此时棋盘上黑色连通区域个数的期望．
请提交一个实数．若正确答案为，得分为．
一个黑色连通区域是满足下述性质的极大黑格集合：集合中任意两个黑格之间，都有一条只经过该集合内黑格的路径，且路径上相邻两格共享一条边．
第36题 · GUTS（20分）
求满足以下两个条件的正整数的个数：
- 不是或的倍数；
- 不存在与位数相同、且至多在一个十进制数位上与不同的素数．
请提交一个正整数．若正确答案为，得分为．
