导师简介
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作为华威大学数学系的资深教授，导师是当今代数几何领域，特别是双有理分类理论方面的重要学者。导师自1995年在华威大学获得博士学位后，一直致力于代数几何领域的研究，特别专注于Fano 3-folds的双有理分类、奇点理论以及计算机辅助的代数几何构造。
导师的研究工作在国际代数几何界享有很高声誉，其研究成果不仅推动了理论发展，更重要的是将计算机代数系统引入到代数几何的研究中，开创了计算代数几何的新方向。特别是在Fano 3-folds的分类理论、非交换奇点理论以及Graded Ring Database的建设方面做出了突出贡献。
研究领域
导师的主要研究兴趣集中在"代数几何中的双有理分类，包括计算机辅助构造和数据库"领域。这一研究方向涵盖了现代代数几何的多个核心分支：
- 双有理几何理论：双有理几何是代数几何的一个核心分支，研究代数簇之间的双有理等价关系。导师特别关注3维代数簇的双有理分类问题，这是代数几何中最困难也是最重要的问题之一。
- Fano簇理论：Fano簇是指反正则束为丰沛的完备代数簇，它们在代数几何中具有特殊的重要性，因为它们是唯一可能有有限多个变形类的代数簇。导师的研究重点是3维Fano簇的完整分类和构造。
- 奇点理论：特别是非交换奇点理论，这是导师近年来开拓的新研究方向，将经典的Arnold奇点理论推广到非交换设定。
- 计算代数几何：导师是将计算机代数系统Magma应用于代数几何研究的先驱之一，特别是在构造和分类代数簇方面。
- 数据库建设：Graded Ring Database是导师参与建设的重要学术资源，包含了环理论中分次环的分类，特别是toric簇、偏振K3曲面、Fano 3-folds和4-folds的数据。
研究分析
1.《Local normal forms of noncommutative functions》(2025)
这篇发表在Forum of Mathematics, Pi的重要论文标志着导师在非交换奇点理论方面的重大突破。文章与Michael Wemyss合作，将Arnold的经典交换局部标准形理论推广到非交换情形。研究发现，在非交换设定下，Jacobi代数的同构等价类产生了全新的现象，包括维数为零时的ADE分类以及维数为一时通过极限得到的另一个ADE分类。这一理论的建立不仅丰富了奇点理论本身，更重要的是对3-folds的双有理几何产生了直接应用。研究表明非交换世界提供了更大的族，且标准形没有连续参数，这是与经典理论的根本区别。
2. 《Derived deformation theory of crepant curves》(2024)
发表在Journal of Topology的这项研究深入探讨了crepant曲线的导出变形理论。Crepant解是双有理几何中的基本概念，而导师的这项工作将现代的导出代数几何技术应用到这一经典问题中。文章建立了crepant曲线变形的导出框架，为理解3维翻转的精细结构提供了新的工具。这项研究的重要性在于它连接了经典的双有理几何与现代的导出范畴理论，为研究奇点解决和双有理变换提供了新的理论框架。
3. 《Noncommutative Singularity Theory》(2024)
这篇发表在EMS Surveys in Mathematical Sciences的综述文章系统阐述了导师在非交换奇点理论方面的理论贡献。文章是关于非交换变量的幂级数的非交换奇点理论的解释性文章，讨论了其变形理论的动机以及在曲线收缩和光滑3维翻转分类中的应用。这篇综述不仅总结了该领域的最新进展，更重要的是为这一新兴理论提供了系统的理论框架。非交换奇点理论的建立为理解代数几何中的奇点现象提供了全新的视角，特别是在处理有群作用的情况下显示出强大的威力。
4. 《Kawamata boundedness for Fano threefolds and the Graded Ring Database》(2022)
这项研究建立了Fano 3-folds的有效Kawamata有界性结果。研究描述了39,550个可能的半稳定Mori-Fano 3-folds的Hilbert级数列表，并通过实例解释其意义、与已知分类的关系以及所包含的更一般Fano 3-folds的丰富性。这一结果对正在进行的Fano 3-folds分类具有重要的应用价值。Kawamata有界性是代数几何中的基本问题，导师的工作不仅给出了具体的界，更重要的是提供了可计算的方法来验证这些界。
5. 《Gorenstein Formats, Canonical and Calabi–Yau Threefolds》(2022)
发表在Experimental Mathematics的这项研究探讨了Gorenstein格式与正则和Calabi-Yau 3-folds之间的关系。Gorenstein环在代数几何中具有特殊的重要性，因为它们对应于具有良好奇点的代数簇。导师的研究建立了这些代数结构与几何对象之间的精确对应关系，为构造具有预期性质的代数簇提供了系统的方法。这项工作特别重要的是它将抽象的环论与具体的几何构造联系起来，为理论研究提供了可操作的工具。
6. 《Tutorial on Tom and Jerry: the two smoothings of the anticanonical cone over P(1,2,3)》(2021)
这篇发表在EMS Surveys in Mathematical Sciences的教程文章介绍了"Tom and Jerry"unprojection方法的基本思想。Tom and Jerry是导师开发的基于Kustin-Miller unprojection的策略，用于构造数百个具有9×16解的Gorenstein余维4理想。这一方法的主要应用是双正则构造大部分Altınok论文中的反正则极化Mori Fano 3-folds。文章不仅提供了技术细节，更重要的是展示了计算代数几何在解决经典问题中的威力。
项目分析
1. Graded Ring Database项目
这是导师参与的最重要的长期项目之一，该数据库位于华威大学，最近修改了其界面以适应附加条件，便于对Fano流形进行更精细的选择。该项目的重要性在于它为代数几何研究提供了一个系统的计算资源。数据库包含了大量分次环的数据，特别是与代数几何对象相关的环，如toric簇、K3曲面、Fano 3-folds等。这个项目体现了导师将理论研究与计算工具相结合的研究理念，为整个代数几何学界提供了宝贵的资源。
2. Fano 3-folds分类项目
这是导师长期从事的核心研究项目，旨在完成Fano 3-folds的完整分类。Iskovskikh在1977-1979年将第二Betti数为1的光滑Fano 3-folds分类为17个类，Mori和Mukai在1981年分类了第二Betti数至少为2的光滑Fano 3-folds，发现了88个变形类。导师的工作重点是利用计算方法构造和验证这些分类中的具体实例，并研究它们的双有理几何性质。该项目的重要贡献是将理论分类与具体构造相结合，为每个分类提供了可计算的模型。
3. 非交换奇点理论发展项目
这是导师近年来开拓的全新研究方向，旨在将经典的奇点理论推广到非交换设定。该项目的动机来自于双有理几何中遇到的具有群作用的奇点，这些奇点在经典框架下难以处理。导师的工作建立了非交换幂级数的奇点理论，发现了许多新的现象，包括ADE分类的推广。这个项目的重要性在于它为处理代数几何中的对称性问题提供了新的工具，特别是在3维翻转的研究中显示出强大的应用潜力。
研究想法
1.非交换奇点理论在高维情形的推广
- 研究非交换奇点理论在4维及以上情形的推广
- 探索高维非交换ADE分类的可能性
- 建立高维非交换奇点解决理论
- 应用于Calabi-Yau 4-folds的奇点分析
2.非交换导出范畴的奇点应用
- 结合导出代数几何技术发展非交换奇点理论
- 建立非交换奇点的导出范畴理论
- 研究非交换McKay对应的导出版本
- 应用于量子群和表示理论中的奇点问题
3.机器学习在代数几何中的应用
- 利用机器学习技术预测Fano簇的性质
- 开发基于神经网络的Hilbert级数预测模型
- 构建智能化的代数簇分类系统
- 应用深度学习优化unprojection策略
4.量子计算在代数几何中的潜在应用
- 研究量子算法在求解多项式系统中的应用
- 开发量子Gröbner基算法
- 探索量子计算在同伦理论中的应用
- 建立量子代数几何的理论框架
5.K-稳定性与Fano簇的模空间
- 研究Picard秩为2的光滑Fano 3-folds的K-稳定性
- 构造Fano 3-folds的K-稳定模空间
- 分析K-稳定条件下的变形理论
- 应用Kähler-Einstein度量理论
6.镜像对称与Fano簇
- 研究Fano 3-folds的镜像对称现象
- 构造相应的Calabi-Yau镜像
- 建立Fano/Calabi-Yau对应的精确理论
申请建议
1. 学术背景准备
数学基础要求：
- 扎实的抽象代数基础，特别是环论和模论
- 深入的代数几何知识，建议学习Hartshorne的经典教材以及更现代的Vakil教材
- 交换代数的深入理解，特别是局部环理论和同调代数
- 基本的范畴论和同调代数知识
专业技能发展：
- 熟练掌握至少一种计算机代数系统，优先推荐Magma或Singular
- 学习基本的编程技能，特别是Python或C++
- 了解数据库设计和管理的基本知识
- 培养数学写作和可视化技能
2. 研究经验积累
理论研究准备：
- 深入学习Fano簇的分类理论，阅读Iskovskikh和Prokhorov的经典综述
- 理解双有理几何的基本概念，特别是Mori理论
- 学习奇点理论的基础，包括Arnold的经典工作
- 了解导出代数几何的基本概念
计算技能训练：
- 完成一些基本的代数几何计算项目
- 尝试使用Graded Ring Database进行研究
- 学习unprojection理论的基本技术
- 练习使用计算机验证理论结果
3. 申请材料准备策略
研究计划撰写：
- 选择一个与导师研究方向密切相关的具体问题
- 展示对相关理论背景的深入理解
- 提出可行的研究方法和预期贡献
- 体现计算与理论相结合的研究理念
学术写作技巧：
- 研究计划应体现对导师工作的深入理解
- 避免过于宽泛的研究目标，专注于具体可行的问题
- 体现对现代代数几何发展趋势的认识
博士背景
Felix，美国top10学院数学系博士生，专注于代数拓扑和高维数据分析的交叉研究。擅长运用持续同调理论和拓扑数据分析方法，探索复杂网络结构和高维数据集的几何特性。在研究拓扑机器学习算法及其在材料科学中的应用方面取得重要突破。曾获美国数学协会青年研究员奖，研究成果发表于《Annals of Mathematics》和《Journal of the American Mathematical Society》等顶级期刊。
【竞赛报名/项目咨询+微信：mollywei007】
