Precalculus：一门“桥梁”课程

在很多国际课程体系中，不论是美国高中（美高）、AP 学校，甚至是IB 体系，Precalculus 都是一门非常关键的课程。它既是 AP 微积分的铺垫，也是学生从代数思维走向函数与建模思维的重要过渡。许多刚迈入10年级的同学，都会在进入微积分前先学习这门课，作为预备学习。

一、这门课到底学什么？）

Precalculus 的核心，其实就是研究函数的世界。整门课一般可以分为四个主要单元：

1、Polynomial & Rational Functions（多项式与有理函数）

2、Exponential & Logarithmic Functions（指数与对数函数）

3、Trigonometry & Polar（三角函数与极坐标）

4、Parametric equation & Vector（参数方程与向量）

前三个单元是 AP Precalculus 官方考试的核心内容，而第四个单元虽然不直接考核，但在后续的 AP 微积分中也有重要应用。像向量、参数方程、等内容，在未来的微积分和物理建模中都会经常用到，因此很多学校也会把第四单元纳入教学中。

当然有一些学校也会把Set（集合）和Series（级数）放到这门课的一开始学习，目的是为了让学生对于数字或数量的归类方法有初步的认识。

对于大部分学生而言，在这门课里碰到的第一个难题就是有理函数的画图，因为涉及到Asymptote的概念，很多学生无法准确的理解极限的概念（而该部分的准确认知是在微积分的第一个章节Limit才会出现），导致会有云里雾里的Confusion。第二个难点是对数函数的定义和图像以及常规的对数运算。第三个难点是三角函数的入门，单位元、角度的相互构建，以及后续的恒等式变换（二倍角公式、和差角公式、诱导公式等）。第四个难点当然是向量和参数方程，这两个概念是打破常规学习惯性的更高级“支路”内容，跟之前的内容不是很有延续性。

二、国内与美高 Precalculus 的教学差异

虽然同样是 Precalculus，但国内和美高的课程安排与教学风格确实存在一些差异。

在国内的国际学校或 AP 学校里，Precalculus 更多是作为“打基础”和“备考”的课程。老师相对会严格按照 College Board（CB）官方考纲进行教学，目标明确——帮助学生熟练掌握运算法则和函数性质，获得扎实敏捷的计算能力和判断能力，并在考试中取得理想成绩。

而在美高，课堂氛围和节奏则较为灵活。老师有更大的自主权，可以根据自己的理解调整课程内容。有的老师会注重公式推导和逻辑，有的则更倾向于通过项目式学习，让学生在实践中理解数学，比如模拟摩天轮的运动轨迹、研究自行车轮的摆线，或是用软件绘制极坐标图形。这样的项目式学习虽然不一定直接对应考试内容，但能帮助学生更深入地理解数字背后的规律。

也就是在美国的高中老师会对这门课更有自己的想法。虽然名字还是叫PreCal，但是会更加注重名称（Calculus的前置内容）本身而非某一本教材的固定内容。而国内的国际高中相对比较固定，会根据Syllabus的内容推进。

三、函数，是 Precal 的灵魂

Precalculus 的核心是“函数”，几乎所有内容都围绕函数展开。

学生需要掌握的不仅是代数计算，更重要的是能够看懂图像、理解函数的变化。常见的学习重点包括：

🔸 函数的定义域和值域

🔸 渐近线的存存在与类型（包括水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线）

🔸 与坐标轴的交点

🔸 单调性与凹凸性

🔸 图像变换（Transformation）

这些内容在 Precal 中是非常频繁出现的，因为它们不仅能够体现函数在无穷远处的行为，也反映出函数图像的整体趋势。

很多学生在第一次接触有理函数或指数函数时，会被“为什么图像靠近某条线但不相交”这个现象困惑，而理解渐近线其实是理解函数极限与连续性的一个起点，为之后的微积分学习做铺垫。

所以我们往往会鼓励学生多使用可视化工具，比如 Desmos 或 GeoGebra，去探索图像的变化过程。这种“动手+观察”的方式，比单纯的代数推算更能帮助学生建立直观理解。

四、学习建议：从“算”到“想”

很多学生在刚开始学 Precalculus 时，容易陷入一个误区：面对针对这么大量又繁杂的知识点，“我是不是要多背点公式、多练点题？”

其实，Precal 的学习方向恰恰相反——不要只停留在计算，要理解函数的行为。

这门课的重点，是培养你分析函数、建立模型、解决实际问题的能力。

🔸 给大家几个具体建议：

1、多用工具画图。

养成用 Desmos 或 GeoGebra 验证自己想法的习惯。

比如，一个简单的 y = (x - 2)^2 和 y = 2(x - 2)^2 ，一眼去看出图像如何“平移”或“拉伸”。

2、多练真题。

学校课堂练习和 AP 官方考试之间，题型和出题风格会有明显区别。

对于后续实际参与到precal大考的同学，要拿高分，一定要在课下多接触 CB 官方样题，熟悉考试的思维路径。

3、注重理解与建模。

当你能把生活中的现象用函数表达出来，比如银行复利、摩天轮旋转、黄金螺线等，你就已经真正进入了 Precalculus 的游戏。

五、写在最后

Precalculus 看起来是微积分前的一门“准备课”，但其实它代表着学生数学思维的转折点——从“求答案”走向“理解规律”，从“代数世界”走向“函数世界”。

无论你是在国内学习，还是在美高读书，最重要的不是背下多少公式，而是学会“看懂数学”。

当你能理解图像背后的逻辑、看出函数的性格变化，微积分的世界就已经在向你打开了大门。