2022 AMC10/12竞赛真题题目全解析!

AMC10/12 A卷在中国区的考试一结束,犀牛的竞赛大佬们就立刻开始了奋笔疾书!

在赛题分析中我们发现,今年2022年的AMC10/12 A卷难度上升、考点又又又新增了难怪焦急考试结果的学生家长已经爆满了...

AMC作为数学竞赛中顶流赛事,按照惯例犀牛教育创始人、竞赛大佬李老师已经在赛后紧急完成对今年的AMC10/12 A卷的权威解析

一起来看看今年都有哪些新变化?出题又有什么新趋势?

AMC知识点总结

2022 AMC10/12竞赛题目全解析!AMC10/12 A卷难度有多高?
增加知识点

不定方程的特殊形式佩尔方程(Pell)

今年的12A和10A都有点难度,想要拿130+的高分还是不容易的。特别是今年12和10的A卷都特别喜欢考不定方程,去年的A卷独爱函数和几何。

今年不定方程的这个考点,除了常规考察之外,增加了二元二次不定方程中的佩尔方程形式(关于佩尔方程的详细知识可以参考潘承洞主编的《初等数论》)。

佩尔方程是一个高级别的竞赛比如HMMT、PUMAC等会考到的考点,这是AMC历史上第一次不再考察常规的因式分解(包含双十字)、放缩、配方、同余、主元法(△法)、试根法,而是考相对比较生僻的佩尔方程。

佩尔方程是指如下的方程:

2022 AMC10/12竞赛题目全解析!AMC10/12 A卷难度有多高?

我们来看一下涉及佩尔方程的几道题目解析:

题目1:10A-25题

题目:

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答案:

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这道题在求解的过程中有一个坑,一旦不注意,就死活都算不出来,是这个点:

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到了下一步,就到了不定方程求解,虽然这里满足佩尔方程的形式,但是因为是求初始值(x1,y1),所以只能用其他方法来求。我们可以使用常规方法:主元法(△法),然后再试根:

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虽然这个考场上有点折磨人,但是只需要计算8次就还好。如果计算的次数很多次,这时候就需要用佩尔方程来进行计算了。

题目2:12A-16题

题目:

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答案:

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题目3:12A-25题

题目:

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答案:

2022 AMC10/12竞赛题目全解析!AMC10/12 A卷难度有多高?

这道题的难度首先在于先利用几何知识处理成代数式(掌握“设角不设边”这个几何思维),变换成代数式之后,又变成了一道不定方程的题目:2022 AMC10/12竞赛题目全解析!AMC10/12 A卷难度有多高?

函数中的最值问题考的比较灵活

常规的最值问题一共有6种方法,这是在我课堂基础班里专门讲过的(利用函数单调性、基本不等式、划归为二次函数、化归为耐克函数或其他特殊函数、换元、数形结合等常用的6种方法),在冲刺班里,我们又专门学习了几何中最值问题的处理的两个方法:

1.要么用几何图形画出来;

2.要么用代数式求出来。

对于复数的题目,AMC 12之前是很少考察最值问题的,在HMMT、PUMAC、BMT等S级比赛中,经常碰到复数的最值问题。一般来说,复数的最值问题,都是用几何方法解决的,所以方法还是两个:

1.要么用几何图形画出来;

2.要么用代数式求出来。

题目1:12A-13题

题目:

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答案:

如果备考过S级比赛,或者去年就备考过AIME考试,这种题目是不陌生的,对于第13题,基本无法用代数式求解(当然你可以尝试,而且你得增加一项数学工具—复变函数积分)

用代数式求解:

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如果你学习过复变函数积分,你是可以处理上面这个积分的,但是这绝对不是这道题在考场上正确的处理方法。正确的处理方法,应该是用几何意义来处理问题:

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之前的复数题目,用几何意义来解题目的比较少,我们从AIME和其他S级比赛中选取一些题目,考生可以加以训练。

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题目2:12A-22题

题目:

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答案:

虽然这道题是22题,这道题反而是简单题,因为它非常常规,用代数式求解出一个f(c)的代数式,然后利用我们学习过的6种常规方法进行求解即可,关键是对方法的熟练运用:

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题目3:12A-17题

题目:

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答案:

这不是一道函数最值的题目,是关于函数不等式求解的题目,但是解决思路还是一致的。但是这道题想要做对,需要对三角函数这块极其熟练,比如2倍角、3倍角公式;三角函数换元成二次函数等,不然在考场上可能做不完或者做不对。

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对同余的考察偏向于灵活应用性考察

之前年份同余的题目,更偏向于同余方程7条基本规则的使用以及常规的基本例题题型,比如如下的题目:

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但是现在的题目则更倾向于应用性的考察(与数列、方程等结合在一起考察),这个难度显然比之前要大很多:

题目1:10A-19题

题目&解析:

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题目2:12A-18题

题目&解析:

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题目3:12A-21题

题目&解析:

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考察对排列组合的考察:常规题型考察

对于排列组合—分类讨论、排列组合—操纵排列顺序都是常规题型考察,平常训练的比较多,这次考试没有新意,基本是老生常谈

题目1:10/12A-24题

题目&解析:

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掌握好分类讨论的实质:相互独立、不重不漏,基本上不会出错。

题目2:10A-14题

题目&解析:

2022 AMC10/12竞赛题目全解析!AMC10/12 A卷难度有多高?

这是一道错误率特别高的题目,虽然是一个第14题,很多同学会没读懂题意;另外就是有些同学会思考的过于麻烦,从而无从下手;还有些同学是在处理3、2、1时会犯错误。以下详细写了具体的思考与计算的过程:

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整体来看今年的A卷,无论是10A还是12A,难度比较大,计算量比较大,同时对细节要求也非常高(特别是前10题出现的排列组合的题目),个人感觉今年的晋级线可能比去年还会再低

这两套题目中80%题目还是常规的题目,所以基本功扎实的同学,这次分数依然会非常出众。

对于下周要考的B卷,大家还是夯实基础知识,对于新的知识点,如果以前没学习过的,就不要再去学习了;不要再做新题,就把平时的笔记、错题本拿出来好好复习一下。同时不要因为AMC考试,耽误了你学校的期中考试。A卷对不定方程、数论考察的比较多,而且比较新,考B卷的同学可以着重看一下。

今年题目中新出现了几个之前没出现过的考点:不定方程的佩尔方程类求解、复数与几何结合在一起、复杂的函数求最值,有些题目已经达到往年AIME的难度。AMC的准备不能只是简单的上一个学期的课就可以考一个125+的分数,而是切实需要准备一年左右的时间,同时对各种数学工具、数学思维极其熟练的掌握。

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