VCE中数和VCE高数必考知识点解析：微积分中的切线方程问题

在面对众多数学知识点，同学们一定要抓住一些必考的内容，今天就为同学们讲解一下VCE中数和VCE高数都必考的一个知识点——微积分中的切线方程问题

1、首先，我们先回顾一下这个知识点的来源，同学们可以翻开VCE中数unit3-4的textbook的10A，或者VCE高数unit3-4的6A

根据微积分的基本定义，在一个函数（或者曲线）上的某一点的导数值，是过该点的切线方程（tangent line）的斜率。为了方便同学们记，我们可以简化记忆为导函数值=斜率

根据切线方程的知识，后面会相继引出法线方程（normal function），即与切线方程垂直的一条函数方程，考察的知识则是：两条垂直的直线方程，它们的斜率乘积为-1，即m1*m2=-1。同时还会考察与切线方程平行的直线方程求法，考察的知识点则是：两条平行直线方程的斜率相等，即m1=m2。

2、在回顾完知识点后，我们来梳理下这种题型的常见求法，通常来说，题目中会给定一个函数方程，然后给定一个具体的点，让你求过这个点的切线方程。

具体步骤如下：

由于该知识点既会出现在VCE中数、VCE高数卷1，也会出现在VCE中数、VCE高数卷2。

我们将为同学们讲解手算和计算器两种解法

1、手算：

1、对目标函数进行求导

此处要注意计算的准确率，通常函数求导会用到product rule或者chain rule。同学们切记不要套错公式或者漏掉符号

2、将该点带入1中所求的导函数方程，求出该点的导函数值，即斜率m

3、通常来说题目中只会给你这个点的横坐标，如，pass x=6。这时候我们要求出该点所对应的纵坐标，即把x=6代入原函数方程中。切记一定是要带入题目中的原始函数方程，而不是1中求出的导函数。这是同学们最容易出错和产生误解的地方

4、将2和3中求出的斜率和点的坐标带入上面图片中的公式，即可求出最终答案，此处同学们记得将答案化简为y= mx + c的形式

接下来问同学们归纳一下常见的问题：

求出的是切线方程，它是一条直线，所以一定是y=mx+c的形式，如果你的答案中x的指数不是1，例如x^2, 1/x, 那么一定是计算过程中出现了错误，回去好好检查一下

切记不要把点带入到求完导之后的函数方程里，这里再次强调一下

不要套错公式

如果题目中问的是normal function，那么还是根据上述的流程，先求出斜率，再根据m1*m2=-1求出法线方程的斜率，再将点的坐标代入公式。所以同学们一定要审清题目，不要看到normal function而不知所措

接下来我们拿一些

VCE中数、VCE高数历年真题来具体讲解一下

下面是2020年VCE中数卷1的一道题

其中b问的后三问全部都是和切线方程有关

我们根据上述的步骤来一起计算下，首先对题目中的函数进行求导，得出导函数方程为2x+3

将点的横坐标代入1中的导函数方程，

由于点的横坐标是a，所以斜率m=2a+3

求出Q点的完整坐标，

将a代入题目中的原始函数求出Q的纵坐标

套入公式，求得

之后再根据题目中的进一步要求，继续求解a的值

3、手算部分的过程已经为同学们讲解完了，接下来为同学们梳理下如何用计算器快速的求解。

我们同样拿一道

2021北半球VCE中数卷2中的题来看一下

e问中虽然问的是y- intercept，但是我们需要求出具体的切线方程才能知道y- intercept，所以其实是一回事。

我们拿CAS计算器为例，同学们记住按键顺序：menu—4—9 就是求切线方程的功能，按顺序输入函数方程和点的横坐标，此处记得打逗号

此处化简一下并写成y=mx+c的形式，

即可写出最终答案

（由于题目中问的是y-intercept，所以标答为了更明确写成了y=c+mx的形式，并不影响结果）

今天的分享就到这里啦！