2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得

接着上篇文章,2021年CMO的第二天的第二题——即第5题也是一个几何题。是一个尺规作图问题,题目如下:
2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得这个题目初看很简单,如果不要求步数,√2021一定能尺规作图作出来,因为我们可以尺规作出边长为1的等腰直角三角形,其斜边为√2,再以√2和1为直角边作直角三角形,则其斜边为√3,...依此类推,以√n和1为直角边做出直角三角形,则其斜边即为√(n+1),
如下图所示,像一个美丽的贝壳。所以首先我们确定了√2021一定能尺规作图作出来的。

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得当然,这是一个笨方法,有很多方法可以提高效率,减少作图步骤。为了避免引起争议和混乱,这里需要先明确一下几何中尺规作图有哪些基本步骤,一般是指以下两个:
(1)经过两点可以引一条直线(或在两点间可以联结线段);
(2)以定点为圆心,图形中某个给定的线段长为半径可以作一个圆(或一段弧)。

下面考虑本问题,如何尽可能快的用尺规作出√2021?
基本的想法当然是将其放到一个其余两边长为整数的直角三角形中。考虑最接近2021的完全平方数,容易知道45*45=2025,从而2021=45*45-2*2是一个最自然的选择。
下面就是两个问题,一个要作出长度为45的线段,还要将其作为斜边,2为一条直角边作出一个直角三角形。
考虑“效率”最高的作线段的方式,即二分法:太极生两仪,两仪生四象,四象生八卦...
即先作半径为1的圆其直径为2,再做半径为2的圆,直径为4,再依次作出8,16,32.
而最快的得到45的方式是45=32+8+4+2+1。如下图所示,其中GH=45.

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得

下面考虑如何尽快作出以45为斜边,2为直角边的直角三角形。最容易想到的是作出以45为直径的圆,然后以直径一端为圆心2为半径画圆与此圆交点,此点与另一端点的连线即为所求的√2021。要作以45为直径的圆,需要先作出其垂直平分线得到其中点,这样画出来的图如下所示:

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得数一下发现用了10个圆和三条直线,即用了13条直线或者圆,题目要求不超过10个圆或者直线,所以不满足条件!
下面考虑上述作法中能否节省一些步骤。感觉前面作到45或者32似乎都有必要,但是后面作以45为直径的圆的时候作中点有点浪费,其实关键就是找到45的中点I,而HI=22.5,故EI=2.5,我们可以以C为圆心1为半径画圆与C1相交,公共弦交AB于K,则DK=2.5,
以E为圆心DK为半径的圆与AB的右边的交点即为I,这样省去了最后的两个圆和一条公共弦,多用了两个圆和一条弦,似乎没有变化!但是这样以来,可以不要点G,也就是说可以省去C5(也可以先不作H,省去C6),如下图所示,这样就能省去一个圆了。
2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得别的地方似乎很难再省去步骤了。
仔细思考一下可以发现,上述作法的关键是作出22.5,不一定要作出45.所以上述作图方法还可以重新改进,尝试尽快作出22.5。既然要出现0.5,不妨最开始就作出来,故以A、B为圆心作单位圆,则得到3,进而得到6,12,24,而22.5=24-1.5,这样按下图作下来用了7个圆和三条线,刚好满足条件!这样就得到了一种满足条件的作图方法,具体作法如下:

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得1、作直线AB,设AB=1,
2、分别以A、B为圆心1作单位圆,交AB于另两点D,C,两圆公共弦交AB于O,则CD=3,DO=1.5。
3、以C为圆心CD为半径的圆交AB于E,则DE=6。
4、以E为圆心ED为半径的圆交AB于F,则DF=12。
5、以F为圆心FD为半径的圆交AB于G,则DG=24,OG=22.5。
6、以O为圆心OG为半径的圆交AB于I,则IG=45。
7、以I为圆心BD为半径的圆交大圆于J,则JG=√2021。
上述作法中共使用了7个圆,连了3条直线,故满足条件。
此为解法一。

这样就找到了一种满足条件的作图方法,此解法算是一个自然而直接的解法。上述解法中作出以45为直径的圆的想法最容易想到,但是比较费步骤。一个改进的办法是在AB上作XY=2,以X为圆心45为半径的圆与过Y的AB垂线的交点P,则YP=√2021.
有了这个改进后,最开始那个用了13个直线或圆的作法也能改进.如下图,具体作法为:

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得1作直线AB,设AB=1,
2以A为圆心作单位圆,交AB于另一点C,则CB=2。
3以C为圆心CB为半径的圆交AB于D,则DB=4。
4以B为圆心BD为半径的圆交AB于E,则DE=8。
5以E为圆心ED为半径的圆交AB于F,则DF=16,AF=13。
6以F为圆心FD为半径的圆交AB于G,则DG=32。
7以D为圆心AF为半径的圆与AB左边的交点为H,则HG=45,
8以E为圆心HG为半径的圆交4中以B为圆心BD为半径的圆于KL,连接KL交AB于J,则BJ=2。
9 以B为圆心AF为半径的圆交JK于P,则JP=√2021。
上述作法中共使用了8个圆,连了2条直线,故满足条件。
此为解法二。

当然上述作法应该还能再改进。上述两种思路估计是最容易想到的,当然还有一些更巧妙的想法。
例如陈晨老师,他的大概思路是通过最开始的一条线和6个圆作出45,再作一个半径2的圆的同心圆(半径为45),再以大圆与直线的一个交点为圆心4为半径做圆,其与大圆交点与另一交点的连线与半径2的圆的切点即得√2021的线段。这样刚好用了8个圆和两条线,满足条件。此为解法三。具体解法如下:

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得还有猿辅导的解法,其基本思路为作出半径为45的圆,以一个交点为圆心2和4为半径作圆,相当于最后作了两腰为45,底边为4的等腰三角形,其顶点与底边中点的距离即为√2021。此为解法四。具体作法如下:

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得当然上述四种解法都可以有一些变形等效作法。应该还有不少其他的思路也能解决本题。

下面还有一个“争议性”的问题:以图中某点为圆心,已知线段长度为半径画圆算不算是一个基本步骤?

一般的,在几何中认为算是一个基本步骤。即圆规是我们常用的圆规,可以先量出某一段的长度,然后圆规保持这种状态,再以某点为圆心,此长度为半径画圆。
有时候为了增加难度,可以要求使用“紧规”,即拿起圆规以后,圆规的两脚自动闭合,这样就只能以图中某点为圆心,过另一点作圆。虽然不难证明,在这种限制下,前面的那个作法也能完成,但是要增加一些步骤(可以证明,最少需要5个基本步骤)。

一个自然的问题是:此题用紧规能否在10步内完成?
答案是肯定的,而且事实上9步就可以了。其基本思路和解法2类似,大概想法就是将解法2图形中的线段长度扩大2倍,最后一步圆稍小一点即可直接作出45,从而即可完成作图。我看到单墫单老、爱尖子平台、质心网等都是此种解法。估计参考答案给出的也是此种解法。具体图形和作法如下:

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得上述9步,每一步是一个基本步骤。此为解法五。
所以本题简单易懂,入手点很多,解法估计也是五花八门,近500名考生中估计有几十种解法。
上述五种解法显然第五种最简洁也最优美。不过如果本题要求使用紧规,最多使用9个基本步骤,可能只有上述第五种解法满足。那此题的难度将大大提升。估计命题组为了降低难度,放松了要求,最终题目呈现如上。
据说本题最后的评分标准如下:

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得学生虽然对尺规作图不是很熟悉,但是本题容易上手,学生答的还是很好的,据说平均分15分多。所以此题引起了老师和学生的不少争议。
这样从结果来看,作为第二题本题的难度有点低,说明命题组对此题难度的估计不够准确。平心而论,竞赛题的难度本来就非常难以估计,命题组专家们的评估可能最终结果大相径庭也是司空见惯的事情。另一方面,所谓长江后浪推前浪,一代更比一代强。这个结果也反映出竞赛学生的数学水平和以前比有了显著的进步。
不过我觉得瑕不掩瑜,本题是一个很好的题目。一方面命题老师希望通过考察此题引导大家对几何的基本能力——作图的重视,确实尺规作图问题既经典又深刻,初看简单明了,引人入胜,古希腊人就有了深入的研究,也提出了很多未曾解决的问题;然而严格证明其中的结论却需要近代的代数、数论、群论等知识,因此她是一个数形结合的完美产物,可以说尺规作图能够综合考察数学竞赛的四块内容:几何、代数、数论、组合。另一方面,本题简单易懂,初一、初二的学生都可以尝试解决本题。而且题目的设计梯度合适,入手点很多,解法也非常多,所以区分度还是不错的。还有考察尺规作图算是突然袭击,几乎大家都估计不到,也基本上不会培训到。这样能够更加真实的反应学生的几何素养,而和赛前及平时的培训的关系就不太大了。

当然这次CMO的题目每题都有梯度,难度整体也都不太高,平均分66.6(满分126分)也是历年最高的。我觉得这是一个好趋势,因为参加CMO的人数越来越多,平均分在50%附近区分度是最高的,能够真实的反应学生的数学水平的差距。
当然上述解法只是说明9个基本步骤能够作出√2021。是否还能更少?如果不能,应该如何严格证明,都是一个很有挑战性的问题。
不少老师感觉此题考察一个特例√2021的尺规作图太简单,而且无法反应此类问题的研究过程,可以考虑考察一般的作图√n的尺规作图的最少步骤问题。
一般性的问题为:已知平面上两个点A,B,且AB=1,并尺规做出一条直线上两点,使得此两点的长度为√n,最少需要几步?其中连直线和画圆(以图中一点为圆心画过另一点的圆)都各是一步。
估计可能因为此一般性的问题难度太高,不适合作为竞赛题考察。例如我们可以考察几个最初的情况。例如√2的作图最少需要几个基本步骤,这都是一个很有挑战性的问题,有兴趣的读者可以挑战一下,这里我先卖个关子,不公布答案了。常见的作法是6步,其实5步就能作出来。
我得到的√1,√2,√3,√4,√5,√6的最少步骤分别是1,5,3,2,6,6。我在著名的在线整数列网站(OEIS)(http://oeis.org/)上查找了一下,好像没有找到此数列。可能我算错了,也可能我的定义不太合理,和其他人的定义不同,结果也会有差异。当然也有可能此类问题还没有被OEIS网站收入。

其实看到此题,我就想到了一个作图游戏《欧几里得(Euclidea)》,此游戏点开后背景就是欧几里得拿着尺规在思考。这是一款尺规作图游戏,而且是使用“紧规”,要求用最少的步骤完成作图。

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得很多人也觉得本题是受此游戏启发编制的,玩过此游戏对解决本题是很有帮助的。所谓有心栽花花不成,无心插柳柳成荫。我们学习也不需要过分的功利,有时候适度放松,玩玩数学游戏对数学学习也是大有裨益的。

这个游戏的挑战性相当大,用尺规作出结果不难,但是要用最少的步骤却殊为不易。例如刚才提到的√2的作图其实本质就是其中第一大关的第7小关用7个基本步骤(7E)作出圆的内接正方形。

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得

我一般给竞赛的学生讲几何的时候都会推荐他们玩这款游戏,我也玩了很久这个游戏。当然此游戏的难度颇高,很难通关。对于几何刚入门的学生,推荐另一款比较简单的游戏《毕达哥拉斯(Pythagrea)》,图标如下,这个适合初学几何的学生,甚至小学生也能玩。

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得

我以后有空了准备写个《玩游戏,学几何》系列,写写这些几何游戏的攻略和作法及证明以及互相之间的联系。

【竞赛报名/项目咨询请加微信:mollywei007】

微信扫一扫,分享到朋友圈

2021年CMO第5题与作图游戏欧几里得
上一篇

大学想读天文和天体物理?高中 AP/IB 该如何选课?

下一篇

1月1日过去了,还有哪些TOP50美国大学申请没截止的?不要错过2021-2022年申请季的末班车!

你也可能喜欢

  • 暂无相关文章!

关注热点

返回顶部