第 1 题. 已知三角形BCF 中, 角B是直角. 在直线CF 上取点A, 使得FA = FB, 且F 在点A和C之间. 取点D, 使得DA = DC, 且AC是∠DAB的内角平分线. 取点E, 使得EA = ED, 且AD是∠EAC的内角平分线. 设M 是线段CF 的中点. 取点X使得AMXE是一个平行四边形(这里 AM ||EX, AE||MX).
证明: 直线BD, FX和ME三线共点.
第 2 题. 确定所有正整数n, 使得可在一张n × n方格表的每一小方格中填入字母I, M, O之一, 满足下列条件:
在每一行及每一列中, 恰有三分之一的小方格填入字母I, 三分之一的小方格填入字母M, 三分之一的小方格填入字母O; 并且
在每条对角线上, 若该对角线上的小方格个数是三的倍数, 则恰有三分之一的小方格填入字母I,三分之一的小方格填入字母M , 三分之一的小方格填入字母O.
注: 一张n × n方格表的行与列按自然的顺序标记为1至n. 由此每个小方格对应于一个正整数对(i, j), 其中1 ≤ i, j ≤ n. 对n > 1, 这张方格表有两类共计4n − 2条对角线. 一条第一类对角线是由i + j是某个常数的所有小方格(i, j)构成, 一条第二类对角线是由i − j是某个常数的所有小方格(i, j) 构成.
第 3 题. 设P = A1A2 · · · Ak是平面上的一个凸多边形. 顶点A1, A2, · · · , Ak的纵横坐标均为整数, 且都在一个圆上. P 的面积记为S. 设n是一个正奇数, 满足P 的每条边长度的平方是被n整除的整数.
证明: 2S是整数, 且被n整除.
第 4 题. 一个由正整数构成的集合称为芳香集, 若它至少有两个元素, 且其中每个元素都与其它元素中的至少一个元素有公共的素因子. 设P (n) = n2 + n + 1. 试问: 正整数b最小为何值时能够存在一个非负整数a, 使得集合
{P (a + 1), P (a + 2), · · · , P (a + b)}
是一个芳香集?
第 5 题. 在黑板上写有方程
(x − 1)(x − 2) · · · (x − 2016) = (x − 1)(x − 2) · · · (x − 2016),
其中等号两边各有2016个一次因式. 试问: 正整数k最小为何值时, 可以在等号两边擦去这4032个一次因式中的恰好k个, 使得等号每一边都至少留下一个一次因式, 且所得到的方程没有实数根?
第 6 题. 在平面上有n ≥ 2条线段, 其中任意两条线段都交叉, 且没有三条线段相交于同一点. 杰夫在每条线段上选取一个端点并放置一只青蛙在此端点上, 青蛙面向另一个端点. 接着杰夫会拍n − 1次手. 每当他拍一次手时, 每只青蛙都立即向前跳到它所在线段上的下一个交点. 每只青蛙自始至终不改变跳跃的方向. 杰夫的愿望是能够适当地放置青蛙, 使得在任何时刻不会有两只青蛙落在同一个交点上.
证明: 若n是奇数, 则杰夫总能实现他的愿望.
证明: 若n是偶数, 则杰夫总不能实现他的愿望.
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