第 1 题. 我们称平面上一个有限点集S是平衡的, 如果对S中任意两个不同的点A, B, 都存在S中一点C, 满足AC = BC. 我们称S是无中心的, 如果对S中任意三个不同的点A, B, C, 都不存在S中一点P , 满足PA = PB = PC.
证明: 对每个整数n> 3, 均存在一个由n个点构成的平衡点集.
确定所有的整数n> 3, 使得存在一个由n个点构成的平衡且无中心的点集.
第 2 题. 确定所有三元正整数组(a, b, c), 使得
ab − c, bc − a, ca − b
中的每个数都是2的方幂.(2的方幂是指形如2n的整数, 其中n是一个非负整数.)
第 3 题. 在锐角三角形ABC中, AB > AC. 设Γ是它的外接圆, H是它的垂心, F 是由顶点A处所引高的垂足. M 是边BC的中点. Q是Γ上一点, 使得∠HQA = 90◦, K是Γ上一点, 使得∠HKQ = 90◦. 已知点A, B, C, K, Q互不相同, 且按此顺序排列在Γ上.
证明: 三角形KQH的外接圆和三角形FKM 的外接圆相切.
第 4 题. 在三角形ABC中, Ω是其外接圆, O是其外心. 以A为圆心的一个圆Γ与线段BC交于两点D和E, 使得点B, D, E, C互不相同, 并且按此顺序排列在直线BC上. 设F 和G是Γ和Ω的两个交点, 并且使得点 A, F , B, C, G按此顺序排列在Ω上. 设K是三角形BDF 的外接圆和线段AB的另一个交点. 设L是三角形CGE的外接圆和线段CA的另一个交点.
假设直线FK和GL不相同, 且相交于点X. 证明: X在直线AO上.
第 5 题. 设R是全体实数的集合. 求所有的函数f : R → R, 满足对任意实数x, y, 都有
f (x + f (x + y)) + f (xy) = x + f (x + y) + yf (x).
第 6 题. 整数序列a1, a2, · · · 满足下列条件:
- 对每个整数j> 1, 有1 时 aj 时 2015;
- 对任意整数1时 k < ℓ, 有k + ak ≠ ℓ + aℓ.
证明: 存在两个正整数b和N , 使得
对所有满足n > m > N 的整数m和n均成立.
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