2017年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3c题解析

这道题是英国物理奥赛 (BPhO)第二部分试卷中第三题的 (c) 题,从物理的原理的角度看,题目难度适中,但对数学计算的要求非常高,从而提升了整个题的难度。BPhO 还是比较看重学生解决物理问题时的数学思维能力,
c) [8 marks] The bucket of mass m is drawn up by the winch cable which exerts a steady froce F upwards, shown in Figure 3.  The bucket starts from rest and initially contains a mass m0 of sand.  The sand leaks out at a constant rate so that the bucket is empty after time t, which occurs before it reaches the top of the dry dock wall.
2017 BPhO Section2 Question3c
In terms of F, m0, m, t and g (the gravitational field strength), what is the velocity v of the bucket when it is just empty?  The friction brakes do no slip.

2017 BPhO Section2 Question3c
答案解析:
这道题的难点在于沙子一直在漏,如果沙子不漏,那么桶只受向下的桶和沙子的重力、还有绳子向上的拉力,向上的合外力将保持恒定,会向上做匀加速直线运动。
现在沙子在漏,那么沙子的自重不断减少,题中又告诉了绳向上的拉力 F 保持恒定,所以这种情况下,向上的合外力不断增加、同时桶和沙子的总质量又不断减少,那么加速度是会不断增加的,这是个 “变加速运动”。

要想解决 “变加速运动” 就要用到微积分了,核心在于列出任意时刻 t' 时,桶的加速度 a 随时间 t’ 的方程,再将 a 变形为 dv / dt’,继而通过等式两边积分的方法来算出末速度 v。这里注意我们的时间变量是 t’、而不是 t,因为题目已知给出 t 作为整个运动的总时间了,t 在本题中是个常数、而不是变量。

首先,总共经过时间 t 后,桶里一开始质量为 m0 的沙子漏干净了,所以桶中沙子的质量随时间的减少速率就是:

2017 BPhO Section2 Question3c
由此推得桶中沙子的质量随时间 t' 的变化就是:
2017 BPhO Section2 Question3c
那么桶中沙子的重力只需在此基础上乘以重力加速度 g:
2017 BPhO Section2 Question3c
有了沙子重力随时间的表达式,就可以求合力了。如下图,这桶沙子在上升过程中受到桶的重力 mg、沙子的重力 Fg 和绳子恒定不变的拉力 F:
2017 BPhO Section2 Question3c
在上升中的合力就是:
2017 BPhO Section2 Question3c再根据牛顿第二定律,可求出加速度 a 随时间 t’ 的表达式。但要注意不只合力随时间发生变化,由于沙子一直在漏,桶和沙子的总质量随时间也在不断减少,所以再列个总质量 m' 随时间 t' 的变化:

2017 BPhO Section2 Question3c
上式中 m 代表桶的质量,固定不变;其右侧的表达式为沙子质量随时间 t’ 的变化关系,在前面已经推出来了。
有了合外力 Fnet 和总质量 m’ ,加速度就有:

2017 BPhO Section2 Question3c
2017 BPhO Section2 Question3c
写到这里,物理原理的部分就基本推导完毕,下面要靠微积分的计算能力了!为了求末速度 v,我们要先将加速度 a 变形为 dv / dt’,再通过等式两边积分来计算:
2017 BPhO Section2 Question3c
2017 BPhO Section2 Question3c
2017 BPhO Section2 Question3c
注意上式中 v 的积分下限是初速度 0、上限是末速度 v;时间 t’ 的积分下限是 0,上限是整个运动的总时间 t。再次强调,t 是常数,而 t’ 才是变量。积分过程中也要用到题目中给的积分公式:
2017 BPhO Section2 Question3c
将被积函数求反导、并计算就有:
2017 BPhO Section2 Question3c
2017 BPhO Section2 Question3c
即为本题答案。

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