2017年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3b题解析

这是 2017 年英国物理奥赛 (BPhO) 试卷 Section 2 部分第 3 大题的 b) 题。实际考试中,即使不会 a) 题,也可跳过尝试 b) 题,因为两者并无实质关联。这道题看起来比较唬人,实际没有太难,争取自己能做出来:

b) [8 marks] In a different geometry the winch is used to haul sand up from the bottom of a dry dock using a crane constructed from a very light framework of girders.  The crane geometry can be seen in the diagram of Figure 2.  The crane is fixed to the horizontal dock side at points A and B.  The dimensions of the sides CB, CD and BD are shown, the girder CB is vertical, and the winch is hauling a load of weight 15W.

2017 BPhO Section2 Question3b
(i) Find the magnitude of the force exerted on D by the member BD,

(ii) The tension in the member CD.

(iii) If the force on the crane at A by the ground acts vertically downwards and has a magnitude 31W, find the distance AB in terms of L.

答案解析:
(i)、(ii)小问问的是轻质杆 BD 和 CD 上的受力情况,这两个力都与点 D 有关,所以我们集中分析 D 的受力情况。注意第 (ii) 小问中明确告诉我们了 CD 中的力是 tension,那么为了使 D 点受力平衡、合外力为零,BD 杆中的力必为 compression,具体受力分析如下图:

2017 BPhO Section2 Question3b
D 点受到三个力,CD杆向左下方的拉力 TCD,BD杆向右上方的推力 TBD,和沙子的重力 Fg = 15W。由于 D 点处于静止状态,所以三力平衡、合力为零。其中 Fg 已知,要求 TCD 和 TBD。
解题过程中肯定要利用 BC、CD、和 BD杆子已知的杆长,即它们间的几何关系,比较简单的做法是构建力的三角形、使之与三杆所构成的几何三角形相似来列公式。于是我们通过平行四边形定则画 Fg 和 TCD 的合力 F,且由于合外力为零,这个合力 F 必与 TBD 等长反向,大小上有 F = TBD,如下图所示:
2017 BPhO Section2 Question3b
不难观察到,几何三角形 BCD 与我们构建出的力的三角形 DGH 相似,所以可列下式:

2017 BPhO Section2 Question3b式中 BC 和 CD 边长均为 5L;在力的三角形中,GD 边就是 TCD,而 GH 边表征的是 Fg = 15W。将上述已知代入上式化简有:

2017 BPhO Section2 Question3b
这就是第(ii)小问的答案。
第(i)小问中要求 TBD 的大小,我们还是利用上图中的两个相似三角形列式求解:

2017 BPhO Section2 Question3b
迎刃而解!
第 (iii) 小问告诉我们地面给 A 点的力是向下的 31W,让求 AB 间的距离,这就需要用到力矩的平衡了。先以 crane 为整体,画出它在 A 和 D 两点的受力情况:
2017 BPhO Section2 Question3b
上图中以 B 点为转轴,为使整个 crane 根据转轴 B 不转动,那么两个力 FA 和 Fg 关于 B 点的合力矩必然是大小相等、方向相反的,据此列力矩平衡公式:

2017 BPhO Section2 Question3b
式中的两个力 FA 和 Fg 均为已知,AB 是本小问要求的长度。BE 是力 Fg 关于 B 点的力臂:即从 B 点出发,向力 Fg 所在直线做一条垂线段,交于 E 点。
只要能求出 BE 的长度,通过上式就可计算出 AB 的长度。下面我们通过几何关系来推出 BE 的长度,仅需在原图中做一条辅助线 CG 如下:
2017 BPhO Section2 Question3b
首先根据直角三角形 BED,可列三边的勾股定理:

2017 BPhO Section2 Question3b
上式有两个未知数,所以还需在列一个公式。
我们再看一下直角三角形 CGD,其中 CD 边为 5L,CG边 = BE边,DG边 = DE边 - GE边 = DE边 - BC边 = DE边 - 5L。所以列勾股定理公式如下:
2017 BPhO Section2 Question3b
联立上面已经推得的两个公式,并将它们作减法有:

2017 BPhO Section2 Question3b
DE 边长有了,再将它代入上述其中一个公式就可算出 BE 的边长:
2017 BPhO Section2 Question3b
BE 边有了,利用前述的力矩平衡公式就可求出 AB 边长:

2017 BPhO Section2 Question3b
总结一下,本题的物理原理并不难,就是列出力的平衡、与力矩的平衡公式;难点在于将实际问题转化为物理模型,和对几何问题的计算推导。

【竞赛报名/项目咨询请加微信:mollywei007】

上一篇

2017年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3a题解析

下一篇

2017年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3c题解析

你也可能喜欢

  • 暂无相关文章!

关注热点

返回顶部