2012年国际奥数竞赛IMO题完整考题-下载

1.设J为三角形ABC 顶点A 所对旁切圆的圆心.  该旁切圆与边BC 相切于点M ,与直线AB  和AC 分别相切于点K 和L .  直线LM 和BJ 相交于点F ,直线KM 与CJ相交于点G .  设S 是直线 AF 和BC 的交点,T 是直线AG 和BC 的交点.

证明: M 是线段ST 的中点.

(三角形 ABC 的顶点 A 所对的旁切圆是指与边BC 相切,并且与边 AB, AC 的延长线相切的 圆.)

2.设整数n≥ 3 ,正实数 a2 ,a3 ,  ,an 满足a2a3  an = 1 .证明:

 

3.“欺诈猜数游戏”在两个玩家甲和乙之间进行, 游戏依赖于两个甲和乙都知道的正整数k 和n.

游戏开始时甲先选定两个整数x 和N ,  1≤ x ≤ N .  甲如实告诉乙N 的值, 但对x 守口如瓶.  乙现 在试图通过如下方式的提问来获得关于x 的信息:  每次提问,乙任选一个由若干正整数组成的集合 S   (可以重复使用之前提问中使用过的集合),问甲“ x 是否属于S ?”.  乙可以提任意数量的问题. 在乙每次提问之后, 甲必须对乙的提问立刻回答“是”或“否”,甲可以说谎话,并且说谎的次数 没有限制,唯一的限制是甲在任意连续k +1次回答中至少有一次回答是真话.

在乙问完所有想问的问题之后,乙必须指出一个至多包含n 个正整数的集合X ,若x 属于X , 则乙获胜; 否则甲获胜.  证明:

(1)若n ≥2k  ,则乙可保证获胜;

(2)对所有充分大的整数k ,存在整数n ≥1.99k  ,使得乙无法保证获胜.

 

4.求所有的函数f∶→,使得对所有满足 a+b+c=0 的整数a,b,c ,都有

(这里表示整数集.)

5.已知三角形ABC中,∠BCA = 90° ,D 是过顶点 C 的高的垂足.  设X是线段CD 内部的一点. K 是线段AX上一点, 使得BK=BC .L 是线段 BX上一点, 使得AL=AC .  设 M 是AL 与 BK 的交点.

证明:  MK = ML .

6.求所有的正整数n,  使得存在非负整数a1 , a2 ,  , an ,满足

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