2011年国际奥数竞赛IMO题完整考题-下载

1.对任意由4 个不同正整数组成的集合A={a1 , a2 , a3 , a4},记 sA=a1+a2+a3+a4,设 nA 是满

足ai+aj(1≤i≤j≤4) 整除sA 的数对(i,j)的个数. 求所有由 4 个不同正整数组成的集合A,使得 nA 达到最大值.

2.设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集,其中没有三点在同一条直线上.

所谓一个“风车”是指这样一个过程:从经过S 中单独一点P 的一条直线L开始,以P 为旋转 中心顺时针旋转, 直至首次遇到S 中的另一点, 记为点Q .接着这条直线以Q 为新的旋转中心顺时 针旋转,直到再次遇到S 中的某一点,这样的过程无限持续下去.

证明:可以适当选取S 中的一点P ,以及过P 的一条直线  ,使得由此产生的“风车”将 S 中 的每一点都无限多次用作旋转中心.

3.设 f :    是一个定义在实数集上的实值函数,满足对所有实数 x,y,都有

f (x+y)≤yf (x)+f (f (x)) ,

证明:对所有实数x≤0 ,有 f (x)=0 .

4.给定整数n>0 .有一个天平和 n 个重量分别为20 , 21, ……, 2n-1 的砝码.

现通过n 步操作逐个将所有砝码都放上天平, 使得在操作过程中, 右边的重量总不超过左边的 重量.每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码,将其放到天平的左边或右边,直至 所有砝码都被放上天平.

求整个操作过程的不同方法个数.

5.设f是一个定义在整数集上取值为正整数的函数,已知对任意两个整数 m,n,差f(m)-f(n) 能被f (m-n) 整除.证明:对所有整数 m ,n,若f (m)≤f (n) ,则 f (n) 被f (m) 整除.

6.设锐角三角形ABC的外接圆为F,L是圆F的一条切线. 记切线L关于直线 BC,CA 和AB 的对称直线分别为La,Lb和Lc  .证明:由直线La  ,Lb和Lc 构成的三角形的外接圆与圆F相切.

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