1.对任意由4 个不同正整数组成的集合A={a1 , a2 , a3 , a4}，记 sA=a1+a2+a3+a4，设 nA 是满
足ai+aj(1≤i≤j≤4) 整除sA 的数对（i，j）的个数． 求所有由 4 个不同正整数组成的集合A，使得 nA 达到最大值．
2.设S是平面上包含至少两个点的一个有限点集，其中没有三点在同一条直线上．
所谓一个“风车”是指这样一个过程：从经过S 中单独一点P 的一条直线L开始，以P 为旋转 中心顺时针旋转， 直至首次遇到S 中的另一点， 记为点Q ．接着这条直线以Q 为新的旋转中心顺时 针旋转，直到再次遇到S 中的某一点，这样的过程无限持续下去．
证明：可以适当选取S 中的一点P ，以及过P 的一条直线 ，使得由此产生的“风车”将 S 中 的每一点都无限多次用作旋转中心．
3．设 f : 是一个定义在实数集上的实值函数，满足对所有实数 x，y，都有
f (x+y)≤yf (x)+f (f (x)) ，
证明：对所有实数x≤0 ，有 f (x)=0 ．
4.给定整数n＞0 ．有一个天平和 n 个重量分别为20 , 21, ……, 2n-1 的砝码．
现通过n 步操作逐个将所有砝码都放上天平， 使得在操作过程中， 右边的重量总不超过左边的 重量．每一步操作是从尚未放上天平的砝码中选择一个砝码，将其放到天平的左边或右边，直至 所有砝码都被放上天平．
求整个操作过程的不同方法个数．
5.设f是一个定义在整数集上取值为正整数的函数，已知对任意两个整数 m，n，差f(m)-f(n) 能被f (m-n) 整除．证明：对所有整数 m ，n，若f (m)≤f (n) ，则 f (n) 被f (m) 整除．
6.设锐角三角形ABC的外接圆为F，L是圆F的一条切线． 记切线L关于直线 BC，CA 和AB 的对称直线分别为La,Lb和Lc ．证明：由直线La ，Lb和Lc 构成的三角形的外接圆与圆F相切．
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