等势线是什么?等势线原理解析

所谓等势线 (equipotential lines),就是由引力势 (gravtitational potential) 或电势 (electric potential) 都相等的点所连成的线。也就是说,对于等势线上的每个点,引力势或电势都相等。
我们以引力势为例,一个质量为 M 的质点周围的引力势表达式为:

等势线
式中 r 为距质点的距离。所以在以该质点为圆心、以 r 为半径的圆周上,引力势处处相等。如下图,一个质点周围的等势线就是一个个同心圆。根据以上公式可知,引力势是负值,且 r 越大、引力势也越大,直到 r 趋于无穷大时,引力势趋于零。
等势线
对于电势,有着相似的性质。一个带电量为 q 的点电荷周围空间的电势表达式是:

等势线
由上式可见,对于距该点电荷距离相同的点,r 相同,电势也就相同,所以点电荷周围的等势线依然是上图所示的同心圆。
电势和引力势的另一个相同之处在于当 r 趋于无穷大时,电势也为零,即都是以无穷远处为 “势” (potential) 的零点。但引力势一般只能为负,而电势的正负是由上式中点电荷 q 的正负来决定的。正电荷周围的电势为正,负电荷周围的电势为负。
如果我们把一个质点周围的重力场 (gravitational field) 和等势线 (equipotential lines) 同时画出,应如下图:
等势线
可见,蓝色的重力场线是沿径向的,而黑色的等势线是沿圆的周长方向,两种线处处垂直,这是一个非常重要的结论。再强调一遍,重力场线或电场线与它们所对应的等势线处处垂直。如果我们已知重力场线或电场线,那么相应的等势线可通过作垂线画出;相反,若已知等势线,那么作与这些等势线相垂直的线即为重力场线或电场线。
为什么会有如此规律?
我们以电场为例简要证明一下,重力场中有相似的证明方法。
等势线
如上图,charge Q 在其周围创造了电场,我们要把一个带电量为 q 的试探电荷从 A 点以很慢很慢的速度移到 B 点,在这个过程的始末试探电荷的动能可以忽略不计。假设 A 点的电势为 VA,B 点的电势为 VB,那么试探电荷在 A、B 两点所拥有的电势能分别为:

等势线
由于从 A 点到 B 点外力所做的功 W 转化为了试探电荷的电势能变化,有:
等势线
上式简洁地呈现了外力做功 W 等于电荷的电量 q 乘以 A、B 两点间的电势差 ΔVe。
对于等势线上两个相邻的点来说,由于电势相等、电势差 ΔV 为 0,那么外力做功 W 也必为 0。根据这条结论,我们举个例子:
等势线
如上图,在一个向右的匀强电场中放置一个正电荷 q,正电荷受到电场力 FE 的方向与电场同向,向右。将该电荷以极慢的速度移至另一个点,若外力不做功,则两点电势相同。那么沿什么方向移动,外力不做功呢?

若使电荷以极慢且不变的速度移动,则根据牛顿第一定律,其合外力为零,那么外力必须向左,与向右的电场力 FE 相平衡。在外力向左的情况下,如何才能使它不做功?

显然是位移方向垂直于外力方向时外力不做功。也就是说如果正电荷上下移动,外力做功为零。这说明了等势线是上下方向的竖线,等势线垂直于电场线。
我们再重新整理一遍思路:
(1) 由于等势线,等势线方向上,外力做功必为零;
(2) 电荷所受电场力方向与电场方向一定在一条直线上;
(3) 为了使电荷以极低的速度匀速运动,外力需要与电场力大小相等、方向相反,所以外力方向也与电场方向在一条直线上;
(4) 电荷沿等势线方向移动,外力做功为零,所以这个位移方向必垂直于外力方向,也即等势线方向垂直于电场线方向。

以上简单论证了一下 “等势线与电场线方向相互垂直” 的结论,逻辑较为复杂,第一次学习的话可能需要反复思考、咀嚼,才能想清楚。
最后我们看几个等势线与电场线的例子,首先是平行极板:

等势线
如上图,红色的电场线由上面的正极板出发、指向负极板,在两极板之间,电场强度均匀,所以电场线平行、等距,在边缘处打弯,且由于电场减弱、变得更加疏松。图中黑色的等势线处处垂直于电场线:在每个与电场线的交点处都垂直。
下图是两个带等量正电的点电荷,q1 = q2:
等势线
图中红色的电场线由两个正电荷出发、并相互排斥,黑色的等势线依然与电场线处处垂直。
如果两点电荷带电量不等,q2 > q1,那么 q2 的电场线会更强势一些、向 q1 有压倒性优势,等势线也会相应的变化,如下图:

等势线

下图是左侧为正电荷 q1 = +q、右侧为负电荷 q2 = -q 的情形,红色的电场线从正电荷出发、箭头指向负电荷,黑色的等势线与电场线处处垂直:
等势线
若 q2 的带电量更大些,那么电场线会在 q2 处相对密集,等势线如下图所示:
等势线
通过观察以上五幅图,不难看出等势线与电场线在每一个交点处都垂直的特征。如果想更深刻地掌握这个规律,希望你能在观察的基础上,把上述五幅图自行画出来。

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