电势能与电势有什么联系?

与引力势能非常相似,电势能 (Electric potential energy) 是由于两个电荷之间具有电场力而产生的能量。如下图,两个距离为 r 的正电荷 Q 和 q 所拥有的电势能是外力 F 将 q 从从无穷远处拉到 P 点所做的功 W。
电势能与电势
以 Q 为参考系,由于同种电荷相斥,上图中 q 受到 Q 给它向右的电场力 FE,那么为了把 q 从无穷远处拉到 P 点,外力 F 的大小至少需要等于电场力 FE,且方向向左。我们假设向右为正方向、向左为负方向,那么外力 F 的表达式是:
电势能与电势
上式用到了两个点电荷之间的库仑定律,其中 k 为库伦常数,Q 和 q 为两个点电荷的电量,x 为它们之间的距离。可见,外力 F 随着 x 的位置不断变化,求这个力的做功就要用到积分了,这和我们之前介绍到的引力势能的推导过程是一样的,有:
电势能与电势
根据电势能的定义,这个将 q 从无穷远处、拉到 P 点的力在这个过程中所做的功,即为两个点电荷距离 r 时的电势能,所以电势能 (Electric potential energy, Ep) 的表达式是:
电势能与电势
当然,式中的 Q 和 q 为两个电荷的带电量,也可用 q1 和 q2 来表示,上式可写成:
电势能与电势
需要指出的是电势能 Ep 是个标量,所以我们在代数计算时,需要将两个电荷 q1 和 q2 的正负号也代入上式。也就是说当两个电荷同正或同负时,电势能为正;而两个点电荷异号时,电势能为负。
和引力势能一样,两个点电荷电势能的零点还是选在了无穷远点。
电势能 Ep 本质上是两个点电荷共享的能量,但解决实际问题时,往往是一个电荷 (比如 Q 或 q1) 不动,另一个电荷 (比如 q 或 q2) 运动,为了简化问题,我们通常把这个电势能归给那个运动的电荷 q 或 q2。

电势能与电势
如果我们认为是上图中的带电量很大的 Q 创造了电场,那么这个电场中的电势可在电势能的基础上除以放入电场中的那个带少量正电的 q 。
电势 (electric potential) 的英文定义比较重要:"The electric potental at a point is the amount of work done per unit charge as a small positive test charge q is moved from infinity to that point."
将电势 (electric potential, Ve) 写成公式的形式有:

电势能与电势
也就是说,如果我们知道空间中一点的电势 Ve,又知道放入这点的电荷 q,两者相乘即为电荷 q 在该点所拥有的电势能 Ep。上式中的 Ep 是能量,单位是焦耳 “J”;q 是电荷量,单位是库伦 “C”;Ve 代表电势,单位是伏特 “V”。
若将前面推得的两个点电荷间电势能 Ep 的表达式代入上式,可进一步推出点电荷 Q 的电势表达式:
电势能与电势
式中的电荷 Q 为电场和电势的创造者。由于电势 Ve 是标量,所以在代入 Q 的数值时,也要代入其正号或负号。
当然,如果是 q 创造了空间中的电场和电势,我们也可灵活地用 q 替换上式中的 Q,只是形式不同、换汤不换药,有:

电势能与电势
下面对关于电势的三个重点问题进行简要分析:
(1) 两个点电荷在空间中一点的总电势怎么求?

电势能与电势
如上图所示,我们要求 P 点的总电势,已知 q1 到 P 点的距离是 r1,q2 到 P 点的距离是 r2。那么两个(或多个)点电荷在 P 的电势分别是:
电势能与电势
与电场不同的是,电势是标量,不具有方向,所以两个电势之和就是简单的数学相加:

电势能与电势
(2) 对于一个点电荷 Q 来说,它周围的电势 Ve 与到点电荷 Q 的距离 r 有什么样的图像关系?
根据点电荷周围的电势公式:

电势能与电势
我们可以大致画出 Ve 和 r 的函数关系,只不过这里 Q 如果是正电荷,则电势为正;Q 若是负电荷,则电势为负。如下图:
电势能与电势
正电荷 +Q 和负电荷 -Q 的图线关于横轴 r 镜像对称,而且当 r 趋于无穷大时,电势都趋于零。

(3) 如果电荷 +Q 是一个半径为 R 的导体球,不能把它当作点电荷,那么电势 Ve 与距离 r 又有什么样的图像关系?
在导体球外部的电势很简单,可以直接把该球体看作是一个位于球心处的点电荷 +Q,还是用上述公式来计算球体外部的电势 Ve ;
导体球内部处于稳定状态,意味着不会有电子的持续移动、也就没有电流,所以导体内部是不存在电势差和电场的,即电势始终为一个定值,和球面的电势相等。
根据上述分析可作如下图像:
电势能与电势
注意比较上述导体球和点电荷电势图像的不同之处。

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