引力势能与引力势是什么关系？

引力势能 (Gravitational potential energy) 是两个物体之间由于万有引力作用而产生的一种势能，它的定义是：
"The gravitational potential energy of two bodies is the work that was done in bringing the bodies to their present position from when they were infinitely far apart."

即引力势能是用外力将两个物体从无穷远处拉到现有位置所做的功，两个物体之间的引力势能是由两者共享的，缺一不可。下面我们尝试着根据上述定义来推导引力势能的表达式。

引力势能与引力势
如上图所示，两个物体质量分别为 M 和 m，为了方便推导，我们以物体 M 为原点建立坐标系。在物体 M 的参考系下，物体 M 本身静止，质量为 m 的物体初始位置为 x = ∞，即两物体相距无穷远。
按照定义，指定位置的引力势能是外力 F 把两个物体拽到各自指定位置所做的功，而且在移动的过程中，两个物体的速度应不变，且非常小、接近于零。由于我们在上图中已经固定住了物体 M，问题得到简化，专注分析物体 m 即可。
在把物体 m 从无穷远处，移动到距物体 M 距离为 r 处的过程中，为使 m 速度不变，其所受合力必为 0 。如上图所示，m 受到物体 M 给它向左的万有引力 FG，那么外力 F 应该与其大小相等、指向右侧，使作用在 m 上的合力为 0。设向右为正方向，则外力 F 的表达式为：
引力势能与引力势
式中 x 为物体 m 的横坐标，由于物体 M 始终位于原点 x = 0 处，所以上式中的 x 也代表 M 和 m 的距离。随着 m 从无穷远处逐渐接近 M，x 越来越小，由上式可以看出，外力 F 随之增大，是个不断变化的力。

对于变力做功的问题，我们需要用到积分。如上图，在向右的外力 F 的作用下，物体 m 从 x = ∞ 向左运动到 x = r 的位置处。力和位移反向，所以做负功，具体的外力 F 的做功表达式有：
引力势能与引力势
根据引力势能的定义，上述外力做功 W 即为两物体的引力势能 Ep，所以引力势能 Ep 的表达式为：

引力势能与引力势
上述公式有如下四点需要说明：

1) 引力势能本质上也是能量，所以 Ep 是标量，单位是 "J", 焦耳；

2) 虽然引力势能是由 M、m 两物体共有的，但在实际解决天体问题时，我们通常固定行星 M 不动，来分析卫星 m 的运动，这种情况下通常把引力势能 Ep 完全归给卫星 m；
3) 由上式可知，当两物体间距离 r 趋于无穷大时，引力势能为 0。所以我们在分析天体之间的引力势能时，势能零点选在两物体距离无穷远的位置处。但分析地球表面的重力势能时，通常把势能零点选在地面。要注意天体之间的引力势能和地球表面的重力势能的不同之处；

4) 上述引力势能 Ep 的表达式中 G、M、m 均为常数，如果以 Ep 为纵轴、以两物体间距离 r 为横轴作图，有如下图像：
引力势能与引力势
可见，Ep 的取值始终为负值，而且两个物体越近、r 越小、Ep 负得就越多，说明引力势能越小。因此两物体距离越近、它们之间的引力势能越小；距离越远、引力势能反而越大。

聊完引力势能 (Gravitational potential energy, Ep )，我们再简单介绍一下引力势 (Gravitational potential, Vg) 的概念。引力势的英文定义是：
"The gravitational potential at a point P in a gravitational field is the work done per unit mass in bringing a small point mass m from infinity to point P."
这和引力势能的定义非常相似，都是把一个质量为 m 的物体从无穷远处挪到一个位置的过程中外力所做的功。不同之处在于 "per unit mass"，我们知道引力势能 Ep 直接等于外力做功 W，而引力势 Vg 是做功 W 除以小物体的质量 m，表达式有：
引力势能与引力势
可见引力势 Vg 的单位是 "J / kg"。
将刚刚推导出的 Ep 的表达式带入此式有：

这是距离行星为 r 的位置处引力势 Vg 的表达式。可见该处的引力势 Vg 只与行星本身的质量 M 有关，毕竟是它创造了周围的引力场；而与放入这个引力场中的小物体的质量 m 无关。
若我们知道空间中一点处的引力势 Vg，又已知放在此点的小物体质量 m，根据上述 (1) 式，两者相乘即为该小物体所具有的引力势能 Ep：
引力势能与引力势