引力势能与引力势是什么关系?

引力势能 (Gravitational potential energy) 是两个物体之间由于万有引力作用而产生的一种势能,它的定义是:
"The gravitational potential energy of two bodies is the work that was done in bringing the bodies to their present position from when they were infinitely far apart."

即引力势能是用外力将两个物体从无穷远处拉到现有位置所做的功,两个物体之间的引力势能是由两者共享的,缺一不可。下面我们尝试着根据上述定义来推导引力势能的表达式。

引力势能与引力势
如上图所示,两个物体质量分别为 M 和 m,为了方便推导,我们以物体 M 为原点建立坐标系。在物体 M 的参考系下,物体 M 本身静止,质量为 m 的物体初始位置为 x = ∞,即两物体相距无穷远。
按照定义,指定位置的引力势能是外力 F 把两个物体拽到各自指定位置所做的功,而且在移动的过程中,两个物体的速度应不变,且非常小、接近于零。由于我们在上图中已经固定住了物体 M,问题得到简化,专注分析物体 m 即可。
在把物体 m 从无穷远处,移动到距物体 M 距离为 r 处的过程中,为使 m 速度不变,其所受合力必为 0 。如上图所示,m 受到物体 M 给它向左的万有引力 FG,那么外力 F 应该与其大小相等、指向右侧,使作用在 m 上的合力为 0。设向右为正方向,则外力 F 的表达式为:
引力势能与引力势
式中 x 为物体 m 的横坐标,由于物体 M 始终位于原点 x = 0 处,所以上式中的 x 也代表 M 和 m 的距离。随着 m 从无穷远处逐渐接近 M,x 越来越小,由上式可以看出,外力 F 随之增大,是个不断变化的力。
引力势能与引力势
对于变力做功的问题,我们需要用到积分。如上图,在向右的外力 F 的作用下,物体 m 从 x = ∞ 向左运动到 x = r 的位置处。力和位移反向,所以做负功,具体的外力 F 的做功表达式有:
引力势能与引力势
根据引力势能的定义,上述外力做功 W 即为两物体的引力势能 Ep,所以引力势能 Ep 的表达式为:

引力势能与引力势
上述公式有如下四点需要说明:

1) 引力势能本质上也是能量,所以 Ep 是标量,单位是 "J", 焦耳;

2) 虽然引力势能是由 M、m 两物体共有的,但在实际解决天体问题时,我们通常固定行星 M 不动,来分析卫星 m 的运动,这种情况下通常把引力势能 Ep 完全归给卫星 m;
3) 由上式可知,当两物体间距离 r 趋于无穷大时,引力势能为 0。所以我们在分析天体之间的引力势能时,势能零点选在两物体距离无穷远的位置处。但分析地球表面的重力势能时,通常把势能零点选在地面。要注意天体之间的引力势能和地球表面的重力势能的不同之处;

4) 上述引力势能 Ep 的表达式中 G、M、m 均为常数,如果以 Ep 为纵轴、以两物体间距离 r 为横轴作图,有如下图像:
引力势能与引力势
可见,Ep 的取值始终为负值,而且两个物体越近、r 越小、Ep 负得就越多,说明引力势能越小。因此两物体距离越近、它们之间的引力势能越小;距离越远、引力势能反而越大。

聊完引力势能 (Gravitational potential energy, Ep ),我们再简单介绍一下引力势 (Gravitational potential, Vg) 的概念。引力势的英文定义是:
"The gravitational potential at a point P in a gravitational field is the work done per unit mass in bringing a small point mass m from infinity to point P."
这和引力势能的定义非常相似,都是把一个质量为 m 的物体从无穷远处挪到一个位置的过程中外力所做的功。不同之处在于 "per unit mass",我们知道引力势能 Ep 直接等于外力做功 W,而引力势 Vg 是做功 W 除以小物体的质量 m,表达式有:
引力势能与引力势
可见引力势 Vg 的单位是 "J / kg"。
将刚刚推导出的 Ep 的表达式带入此式有:
引力势能与引力势
这是距离行星为 r 的位置处引力势 Vg 的表达式。可见该处的引力势 Vg 只与行星本身的质量 M 有关,毕竟是它创造了周围的引力场;而与放入这个引力场中的小物体的质量 m 无关。
若我们知道空间中一点处的引力势 Vg,又已知放在此点的小物体质量 m,根据上述 (1) 式,两者相乘即为该小物体所具有的引力势能 Ep:
引力势能与引力势

关于引力势能和引力势的知识到此为止,希望你:
(1) 熟悉红框框中的几个公式;
(2) 会通过积分推导引力势能 Ep 表达式;
(3) 熟悉引力势能 Ep 随距离 r 变化的图像;
(4) 牢记引力势 Vg 的定义。

【竞赛报名/项目咨询请加微信:mollywei007】

微信扫一扫,分享到朋友圈

引力势能与引力势是什么关系?
上一篇

电势能与电势有什么联系?

下一篇

电场与重力场概述及表达式分享

你也可能喜欢

  • 暂无相关文章!

关注热点

返回顶部