能量守恒定律的应用场景

能量既不能凭空产生,也不能凭空消失,只能从一种形式转化成另一种形式,所以通过能量求解问题主要是看能量是从什么形式转化成了什么形式。

能量守恒定律的应用
e.g. As shown in the figure above, a block of mass m = 1.0 kg, is sliding down an incline.  The incline is frictionless, and has a height of h = 0.50 m.  Calculate the speed when it reaches the bottom of the incline.

解析:在物块的下滑过程中,它的重力势能逐渐转化为了动能。题目中不计摩擦力,所以木块在斜面顶端的重力势能应该完全转化成了它在斜面底端的动能,据此列公式:

能量守恒定律的应用
在计算过程中,等式两边的质量 m 被削掉,物块在斜面底端的末速度只与斜面高度 h 相关。

上述例题只是重力势能转换成动能,用能量转换的方法列公式比较容易,但是有些题目能量转换就较为复杂了,这时可以用以下的能量守恒公式来展开分析:

能量守恒定律的应用
式中 Ek0 和 Ep0 分别代表物体初态的动能和势能,等式右边的 Ek 和 Ep 代表末态的动能和势能,Wnon-conservative 代表物体从初态到末态的运动过程中非保守力所做的功。
什么叫非保守力?非保守力是和保守力相对应的。保守力是指一个力即使做了负功,能量也不会被耗散掉,而是以势能的形式保存了起来;当保守力做正功时,相应的势能会减少,转化为其他形式的能量。
比如一个物体在竖直上抛运动中,重力显然做负功,它使物体的动能减少,减少的动能去哪儿了?并没有丢失,而是转化为重力势能,以势能的形式保守了起来。所以重力就是保守力。再举个例子,一个物体以一个初速度压缩弹簧时,弹簧的弹力也做负功,物体动能减少,减少的动能就转化为了弹簧的弹性势能保存了起来。
所以说重力、弹簧弹力、电场力都是保守力,它们对应的势能分别是重力势能、弹性势能、和电势能。
非保守力与保守力相反,当非保守力做负功时,能量会被耗散掉;当非保守力做正功时,一般也与势能没什么关系。摩擦力就是最典型的非保守力,当动摩擦力做负功时,能量会以热能的形式耗散掉,而不会被保守起来。外界给物体的推力、拉力与势能没什么关系,一般也都属于非保守力。
最后我们来做一道能量转换比较复杂的例题:

能量守恒定律的应用
e.g. In the figure above, a block of 0.5kg is attached to a spring.  The spring is compressed 0.30m from its equilibrium position, and its spring constant is 200N/m.  The horizontal track is frictionless, but the coefficient of dynamic friction between the block and the incline is 0.30.  The angle θ of the incline is 30 degrees.  After the block is released from rest, what is the maximum height h it can reach ?

解析:从能量转换的角度,物块在被释放以后,弹簧的弹性势能首先转化为物块的动能。物块随后经过无摩擦水平面,动能未改变,不发生能量转换。物块沿斜面上升时,它的动能有一部分转化为了重力势能,另一部分能量会被摩擦力消耗。能量转换过程较为复杂,我们不妨用能量守恒公式来推导:

能量守恒定律的应用
整个过程初始态是物块刚被从静止释放时,此时它具有弹簧的弹性势能,但动能为零。所以,上式中的 Ek0 = 0,
能量守恒定律的应用
整个过程的末状态是物块在斜面上达到最高点时,此时它的速度为零,所以Ek = 0。末状态的重力势能 Ep = mgh,式中 m 和 g 已知,h 正是这道题要求的最大高度。
本题的难点在于如何算出 Wnon-conservative,即非保守力做功。物块在整个运动过程中受到三个力,重力、支持力、和摩擦力。其中重力是保守力;支持力由于垂直于物体运动方向,不做功;那么唯一做功的非保守力就是斜面对物块的摩擦力了。为了求出摩擦力的做功,我们对斜面上的物块做受力分析如下图:

能量守恒定律的应用
根据摩擦力的公式进行推导:

能量守恒定律的应用
上式中 μd 是动摩擦因数,N 表示斜面对物块的支持力,它在数值上等于物块对斜面的压力,即重力垂直于斜面的分力 mgcosθ.

摩擦力的做功是力乘以位移,由于力和位移反向,所以做功为负。根据上图可看出,物块沿斜面的位移 s = h/sinθ .  所以摩擦力做功有:
能量守恒定律的应用把以上分析各项代入能量守恒公式即可算出结果:
能量守恒定律的应用

综上,通过能量手段解题一般有两种方法:一种是利用能量的转换列式,这种方法比较适合简单问题;另一种是通过能量守恒公式来计算,这种方法更适合多种能量发生转换的情况。

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