地球卫星的环绕速度与周期公式

卫星通常在不同高度的轨道上做环绕地球的运动。其中有两种比较典型的轨道,一种是极轨道 (polar orbit),指的是在距离南北极不远的上空轨道,距地面高度通常在 100-800 km。一个比较有代表性的就是国际空间站 (International Space Station)。如下图所示,国际空间站在距地球表面大约 400 km 的高度,它的主要功能是供各国科学家做太空实验,比如在微重力环境下研究细胞核的生长。

地球卫星的环绕速度与周期
另一类常见的卫星是地球同步卫星(Geosynchronous Satellites),它的特点是环绕地球一周的时间(即周期)与地球的自转周期相同,都是大约 24 小时。比较特殊的一种叫 Geostationary Satellite,顾名思义,相对地球表面保持静止。也就是说,如果你站在地球的一个地方观察到了它,那么任何时刻它都在那个位置。这类卫星主要用于电视节目传输、电话通讯等。那么怎样让卫星时刻保持与地球相对静止呢?答案是把他们放置在赤道上空。
地球卫星的环绕速度与周期
上图给出了 Geostationary 和 Geosynchronous 的典型轨道,他俩环绕地球的周期都是大约 24 小时,所以轨道高度都一样。唯一不同的是 Geosynchronous 的轨道与赤道的倾角是任意的,而 Geostationary 的轨道必须在赤道上空的一定高度。
严格意义上说,卫星环绕地球都是走的椭圆轨道,为了方便计算,我们就简化成完美的圆形轨道了。那么,在这个卫星关于地球所做的圆周运动中,万有引力充当向心力。由于万有引力指向圆周运动的圆心,与卫星的瞬时速度时刻垂直,所以这也是一个匀速率圆周运动。下面回顾几个公式:

万有引力 (gravitational force) 公式:
地球卫星的环绕速度与周期
匀速圆周运动向心力 (centripetal force) 公式:

地球卫星的环绕速度与周期
由于万有引力充当向心力:

地球卫星的环绕速度与周期
地球卫星的环绕速度与周期
在上面这个公式中,等式最左边是万有引力的展开式,右边的三个是向心力的公式,分别包含速度 v,角速度 ω,和周期 T。已知或要求它们中的哪个物理量,就要用哪个公式展开向心力。
上式中的 r 需要说一下,在万有引力表达式中,它代表的是质心与质心的距离,即卫星与地心的距离;在向心力表达式中,它代表的是圆周运动环绕半径,其实还是卫星与地心的距离。所以两个公式中的 r 在大小上是相同的。

理论介绍到这里,下面做两道例题吧:

eg1: The International Space Station (ISS) moves along a polar orbit which is 400 km above the surface of Earth.  The radius and mass of Earth are 6400 km and 地球卫星的环绕速度与周期 kg, respectively.  The gravitational constant 地球卫星的环绕速度与周期.  Calculate the velocity and period of ISS.

对于这种类型的匀速圆周运动,当直接运用万有引力充当向心力的公式:FG=Fc 。由于求线速度 v,所以用带有速度的公式展开,得:
地球卫星的环绕速度与周期
上式中等式两边的 m 指的是卫星的质量,即空间站的质量,被削掉了,而 M 指的是被环绕星体的质量,在这道题中是地球的质量。r 为卫星到地心的距离,它是地球半径和卫星高度的和 R+h = 400 km + 6400 km = 6800 km,代入数值有:

地球卫星的环绕速度与周期
有了圆周运动的线速度,求圆周运动周期就很简单了:

地球卫星的环绕速度与周期
以上的计算过程要注意有效数字的位数,题目中给的已知有效数字是两位,经过乘除运算,你的答案就要保持在两位左右,不能过多。通过上述计算,可以看出国际空间站以极高的速度环绕地球做运动,大约每一个半小时就能绕地球一周,那么一天能环绕地球 16 次。

eg2: Estimate the height of a geosynchronous satellite.  The radius and mass of Earth are 6400 km and 地球卫星的环绕速度与周期 kg, respectively.  The gravitational constant 地球卫星的环绕速度与周期.

见到 Geosynchronous 或 Geostationary 这两个词要立马反应到卫星的周期是已知的,24 小时。把 24 小时化为国际单位制“秒”是:24 h = 24 x 3600 s = 86400 s。求卫星高度,我们依然用万有引力充当向心力的公式,但这次向心力的公式应该用周期展开:

地球卫星的环绕速度与周期求出环绕半径 r :
地球卫星的环绕速度与周期
这里算出的环绕半径是同步卫星到地心的距离,求同步卫星距地面的高度还要减去地球半径:
地球卫星的环绕速度与周期所以地球同步卫星的高度约为 36000 km,比起国际空间站 400 km 的高度要高多了。发射到 36000 km 那么高,所需要的能量也是很大的。
根据以上两个例题,我们不难总结出两个公式:

地球卫星的环绕速度与周期
卫星在环绕地球做匀速圆周运动时,环绕半径越大(即距地面高度越高),线速度越小,周期越大。

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