整体法与局部法分析

在解决一个问题时,我们有时会从整体的角度思考,有时又要研究某一个具体的细节,这时就涉及到整体法和局部法的切换。所谓整体法,就是把所有运动状态相同或相似的物体看为一个整体(或者系统)来分析;局部法,即使单独拿出其中一个物体作为研究对象来分析。
整体法与局部法
As shown in the figure above, a person is pushing two blocks with a force F = 300 N.  The mass of block 1 is m1 = 10 kg, and that of block 2 is m2 = 20 kg.  Suppose that the surface between the floor and the blocks is frictionless.
(a) What is the acceleration of m2 ?
(b) What is the force exerted on m1 by m2 ?

这道题的 (a) 问表面上问的是物块 2 的加速度,由于两个物块是一起运动的,所以运动状态相同,物块 1 的加速度等于物块 2 的加速度。那么在解决这个问题时,我们就可以把两个物块看为是一个整体来研究。竖直方向上,重力和支持力平衡,合外力为零,主要是分析整个系统水平方向的受力。由于没有摩擦力,所以这个整体在水平方向只受人给它们的推力 F。又知道它们的总质量 m = 10 kg + 20 kg = 30 kg,所以根据牛顿第二定律 a = F / m = 300 N / 30 kg = 10 N/kg 或 10 整体法与局部法,方向向右。这个加速度既是系统整体的加速度,也是两个物块中任意一个的加速度。
(b) 小问其中一个考点是两个物体的相互作用力。根据牛顿第三定律,m2 给 m1  的力与m1 给 m2 的力大小相等,方向相反。所以,我们可以通过求 m1 给 m2 的力来间接求出 m2 给 m1 的力。这对力是两个物体之间的内力,我们就不能再用整体法了,反而要单独分析  m2,由整体法切换到局部法。水平方向,m2 只受到一个力,就是 m1 给 m2 的力,所以根据牛顿第二定律有:
整体法与局部法
有了 1 给 2 的力,那么 2 给 1 的力大小也是 200 N,方向向左。

上面这道例题中我们先用整体法算出加速度,再单独分析其中一个物体,从而算出两物体之间的内力,这是非常典型的解题思路。下面我们看一道更难的题:

整体法与局部法
The above figure shows two objects hanging over a pulley.  The mass of the two objects are given as M and m ( M > m ).  The friction of the pulley and the mass of the string are negligible.

(a) Calculate the acceleration of the two objects;
(b) What's the magnitude of the tension in the string?

这道题的难点在于两个物体的运动方向不一致,由于质量上 M > m,质量大的物体向下运动,质量小的物体向上运动。又因为两个物体用一条轻绳连接,所以它们的运动状态是相似的,任何时刻的速度和加速度的大小都要一样。如果不一样的话,绳就断了或松了。

虽然 M 和 m 的运动方向不一样,由于运动状态相似,我们在求加速度时依然可以用整体法,把两个物块看作一个系统。让两个物块动起来的力是 Mg,而 mg 其实是阻碍两个物体运动的,所以是阻力。因此系统的合外力就是 (Mg - mg)。根据牛顿第二定律:
整体法与局部法
公式中需要注意的是由于我们以两个物块整体为研究对象,等式右边展开质量时需要带入的是两个物体的质量和。整理这个公式可算出加速度大小:
整体法与局部法
M 和 m 加速度大小相同,方向分别是向下和向上。

第二小问求绳中的张力。由于张力是两个物体的内力,所以我们就不能以整体为研究对象了,求内力要用局部法,分析其中一个物体的受力和运动情况。我们就单独分析 M 吧,画出它的受力如下图:

整体法与局部法
在竖直方向上 M 受到向下的重力 Mg 和向上的绳的拉力 T。在第一问中我们知道它有向下的加速度,那么合外力也要向下,说明向下的重力大于向上的拉力。根据牛顿第二定律对 M 列公式有:

整体法与局部法
将第一问答案中加速度 a 的表达式带入有:

整体法与局部法
以上就是绳中张力的大小。由于绳子质量不计,所以绳中张力处处相等,也就是说,绳子给 M 向上的拉力与绳子给 m 向上的拉力是相同。

小结:整体法是将多个运动状态相同或相似的物体看做一个整体,适用于求解整体的加速度或合外力。当把多个物体视为一个系统时,牛二定律公式中需要带入它们的总质量。局部法适合分析物体之间的相互作用力,也叫作整个系统的内力。这时我们要单独拿出一个物体来分析它的受力和运动状况。通常在解决问题时,整体法与局部法都会被先后运用。

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