AMC 12｜高分值题型解析代数函数攻克

AMC12是面向青少年的高水平数学测评，成绩优异者可受邀参加 AIME (美国数学邀请挑战)，是通往更高层次挑战、展示大学申请学术力的重要台阶。

挑战不允许计算器，75分钟 25题，评分为对6分、空1.5分、错0分。因此，会做稳拿，不会留空，是提分要诀。根据 G5教研部对历年题型的统计，代数与函数占比最高。

以 2024年 A/B卷为例：两卷均有 13/25(约 52%)的代数函数题，且 B卷主要集中在前 1–18题，非常利于“前段抢分 + 中段稳分”的节奏。换言之，想拿高分，关键在于把代数函数板块做稳做透。

为此，G5教研部 Dan单老师基于 2024年最新真题，提炼出代数函数题的四大高频类型：① 对数与指数，② 多项式与根，③ 数列与递推，④ 几何的代数化，并针对每类题型解析起手思路与稳分技巧，帮助同学们高效备考、稳步提升。

『题型一：对数与指数』

G5教研部整合 AMC12真题截图，2024年 B卷

本题核心考点：是对数的基本运算与换底公式（这一点是普遍考生相对薄弱的环节，需专项巩固）。

解题技巧：一见到“(log₂x·log₃x)/(log₂x+log₃x)”这类“乘/和”的典型结构，优先换底，把 log₂x、log₃x 统一写成ln x 的线性式。由换底得log₂x=ln x/ln2、log₃x=ln x/ln3，代入后约去公共因子并化简，得到ln x=2(ln2+ln3)=2 ln6=ln36，回代得 x=36；

G5教研部整合题型一正确解答过程

易错点：最常见的错误是将ln2 + ln3误写为ln5，这是错误地使用了‘对数相加等于真数相加’的错误法则 (实际应为ln a + ln b = ln(ab))；Dan老师提醒各位考生注意，识别到这种对数“乘/和”结构时，先换底，再化简，全程保持等价变形，若一时想不起换底法，果断跳过，避免在分式代数上耗时过多，影响整卷节奏。

『题型2：多项式与根』

G5教研部整合 AMC12真题截图，2024年 A卷

本题核心考点：是多项式与根的关系，以及值代法的配套使用。

解题技巧：看到“p²+ a²” 这类“平方和”的乘积时，先配成(p + ai)(p − ai)，如此，不用求根也能直接“带值进多项式”求解目标对象。

G5教研部整合题型二正确解答过程

易错点：一是考生复数代入时，i²=−1, i³=−i，考生极容易算错符号；二是考生以为必须先求出三个根，再做目标运算，既慢又容易算错；Dan老师提醒各位考生看见这类“(p²+ a²)(q²+ a²)(r²+ a²)”题目，优先识别通用模版“p²+ a²=(p + ai)(p − ai)”，整理后，再将特别的自变量值代入原函数求解。

『题型三：数列与递推』

G5教研部整合 AMC12真题截图，2024年B卷

核心考点：本题聚焦于斐波那契数列的恒等变形与分块求和，别逐项代数，更不要用通项。

解题技巧：先把“F_2k/ F_k”的分式化成“F_k-1 +F_k+1”，再把整题拆成两段简单的斐波那契求和，避免逐项代值或使用繁琐的通项公式。

G5教研部整合题型三正确解答过程

易错点：一是考生直接代数或套通项，计算量大、而且易出错；二是考生易把“前一项 + 后一项”误当成“中间项的两倍”；三是套用前 n 项求和时，下标错位，尤其忘了第 0 项是 0，导致最后多减或少减 1，丢分十分可惜。G5教研部建议此题型考生需注意见到“F_2k/ F_k”的形状，先用恒等式把每项变成“F_k-1+F_k+1”，再用“前 n 项之和 = 后移两位减 1”的计算口诀收尾，即可快速稳拿分。

『题型四：几何的代数化』

G5教研部整合 AMC12真题截图，2024年B卷

核心考点：是二元二次式的配方法与几何化思维：把表达式配成圆的标准形，那么最小值将出现在平方项为零的位置。

解题技巧：先把两式相加再一次性配方，而不是分别求h与k的最小值。

G5教研部整合题型四正确解答过程

易错点：一是考生习惯于对每个式子各自配方，导致系数翻倍与常数项处理混乱，最终常数项算错；二是考生完成平方时漏加或者漏减对常数的修正。G5教研部Dan老师认为对考生而言，最稳妥的做法是，一眼识别“两式同形、问和的最小值”，立刻相加→配平方→读出常数项，则可以稳拿分数。

『经验分享』

AMC12题目灵活多变，同一道题往往可以从不同角度切入，最常见的是在代数与几何之间来回转换。G5教研部 Dan老师在日常演练中，每节精选1–2道“可多解”题，明确要求学生用至少两种方法完成，并讨论哪一种方法更机构。把“一题多解”做成特别训练，有三个直接收益：一是打破“只会一种套路就卡死”的局面，二是让学生在方法之间切换、择优，形成真正的策略感，三是把思维弹性转化为考场上的时间优势与稳定度。一题多解，不是为了“花哨”，而是为了“稳、快、准”。当学生真正掌握“起手有选项、过程会切换、收尾够规范”的能力，AMC12的变化就在可控范围内；题目再怎么变，方法不乱，节奏不乱，分数自然就稳了。

『结语』

AMC12的价值不止在于分数，它还锻炼同学们的数学思维、时间管理，也是迈向 AIME的关键一步。G5教研部提醒各位考生备考切忌死记硬背，应以“方法型训练”为主：聚焦核心题型，做结构识别与起手定式，用真题打磨中段稳分，严格执行会做快做、不会留空的节奏，并持续复盘易错与通用模板，把解题变成可复制的流程。祝UIA学子用这“三板斧”把分拿稳、把分拿值，在今年的 AMC数学挑战中取得佳绩。