2022年高考数学压轴题难不难?

高考数学压轴题:难 vs. 不难

今年的高考数学考试结束以后,很快引发了一波关注。对于这份“新高考数学I卷”,各方面的声音几乎是众口一词地定性为“非常难”。

我原本不想趟这个“浑水”,一方面是我对高考不感兴趣,另一方面,我不是中学老师,对当前中学的数学教学状况没有深入的了解,因此不适合随便插嘴——毕竟,一道题难不难,学生应该具备怎样的能力,都不是以我的判断为准。

出于好奇,我还是瞄了一眼这份试卷,对最后一道题产生了一点兴趣。放在最后的题目,通常被称为“压轴题”,难度往往是比较大的但我之所以关注它,是因为这道题与大学的数学学习内容关联性很大

我读高中的时期有一个特殊性。在这个时期以前,高中数学是有微积分的基础内容的,而我在高中完全没有接触过微积分的内容。在我毕业以后不久,微积分的内容又逐步回归了高中数学课本。

不过,这个“空白期”具体有多少年,我难以查证。

在大学里,大多数专业都要求学生修读“高等数学”这门课——通常简称为“高数”。根据我的观察,“高数”的学习情况非常不理想,所以看到作为“高数”的主要学习内容的微积分题目出现在高考试卷中且作为压轴题,我的好奇心就被勾了起来。

高考数学压轴题:难 vs. 不难

这道“压轴题”难吗?不难吗?还是难吗?

快速地把题目扫完一遍,我的第一判断是:不难理由如下:

第一小题是求a的值。题目条件是两个函数的最小值相等,而根据费马定理,函数的极值可以用a表示出来。所以求a的值应该就是解一个方程。

第二小题中的y=b是一条水平直线。由于不难判断两个函数都有唯一的最小值且没有最大值不妨想象成开口向上的抛物线),所以当水平直线与两条曲线(即两个函数的图像)总共交于三个点时,必然有一个交点是两条曲线的公共点

上面的分析中涉及的两个知识点:极值点的特性函数图像的特征,都应该是高中数学的重点学习内容。也就是说,这道题在知识点的考察上并没有什么刁钻之处

不过,压轴题毕竟是压轴题。虽然在大的思路上没有设置明显的障碍,但细节上不乏“荆棘”。下面我们具体看一下有哪些荆棘。

首先来看第一小题。显然两个函数在整个定义域上都是可导的,所以最小值点一定是驻点,即导数值为0的点。易知

f'(x)=ex-a,  g'(x)=a-1/x.

f'(x)=0得驻点x=lna,由g'(x)=0得驻点x=1/a

由于题目已经告诉我们两个函数有最小值,而它们的驻点都是唯一的,所以我们立即可以推出上面两个驻点一定就是极小值点

不过作为验证方式,我们还可以通过二阶导数来判定一下。

f''(x)=ex,  g''(x)=1/x2.

以上两个二阶导数的值都恒为正,所以两个函数都必然只有唯一的最小值点。

下面来求两个函数的最小值的表达式。

f(lna)=a(1-lna),  g(1/a)=1+lna.

由于最小值相等,所以a(1-lna)=1+lna

第一个难点来了!上面的等式是关于a的超越方程,而超越方程的求解并没有系统性的方法,只能靠技巧。

把上面的等式重新整理成lna=(a-1)/(a+1)

之所以整理成这种形式,是为了把方程的“超越”部分放到左边,而右边是相对基础的有理函数

通过分别画出等号两边的函数的草图和观察,可以发现a=1是方程的一个解

可以猜测这是方程的唯一解。如果要严格证明唯一性,则需定义函数F(a)=lna-(a-1)/(a+1),然后证明函数F只有唯一的零点

这一步也可以算作第二个难点。不过我不太了解高中教学对这种方法的介绍和训练是怎样的情况,所以不好判断对考生来说这个难点有多大。

下面来看第二小题。 根据第一小题中的分析,函数f和g的图像都是有唯一的最低点、两端向上无限延伸的曲线,且最低点都在y=1。所以

当b<1时,水平线y=b与两条曲线都没有交点;

当b=1时,y=b与两条曲线各有一个交点;

当b>1时,y=b与两条曲线各有两个交点。

因此,要使y=b与两条曲线总共有三个交点,必须刚好穿过这两条曲线的(唯一)交点

要求两条曲线的交点,只需令ex-x=x-lnx

第三个难点来了!这又是一个超越方程,而且比前一个看起来更麻烦——前一个只出现了对数函数,这一个同时出现对数函数和指数函数。

根据两条曲线的图形特征,它们的交点肯定是唯一的,而且交点的横坐标必在0和1之间(即两条曲线的最低点的横坐标之间)。所以上面的超越方程的解肯定存在唯一

严格的论证可定义函数G(x)=ex-2x+lnx。根据G'(x)在x>0时恒大于0知G是递增函数,所以G的零点若存在必唯一。又根据G在0附近的值小于0及G(1)=e-2>0知唯一解在0和1之间。

要具体求出超越方程ex-x=x-lnx的解似乎不太可能,但要找到y=b与两条曲线的三个交点之间的关系,还是有技巧性的处理方式的。

我们把这三个交点从小到大分别记为p,q,r。则

f(p)=f(q)=g(q)=g(r)=b.

函数f和g的表达式之间有一个巧妙的联系,即在g的表达式中把x替换成ex,就得到f的表达式。换句话说,f(x)=g(ex)

请注意,这个等式对任意的x>0都成立。而f(p)=f(q)=b,所以必然有g(ep)=g(eq)=b。也就是说,根据f的图像曲线与y=b的两个交点横坐标,就可以完全确定g的图像曲线与y=b的交点横坐标。而f与y=b的右交点就是g与y=b的左交点,所以q=ep

同理得r=eq注意到q是函数G的零点,即G(q)=eq-2q+lnq=0,即r-2q+p=0。最后这个等式说明p,q,r构成等差数列。

题目解答完了,最后总结一下。

如解答过程所述,整个解答包含三个难点。解决第一个难点需要处理超越方程的一些经验。如果能想到把方程化为lna=(a-1)/(a+1)的形式,接下来推断a=1满足方程,应该不算太难。

解决第二个难点需要熟悉如何用微积分方法分析方程和函数性质。要判定方程的解唯一,一个很基本的方法就是把方程的解看作相应的函数的零点,然后验证这个函数是单调函数。具体来说,就是验证它的导函数的值恒大于0或恒小于0

第三个难点,需要非常敏锐的观察力和冷静的分析。说实话,如果我在考场里连滚带爬地冲到最后一道题,估计是很难保持住足够的敏锐和冷静的。

总而言之,在现实的考场里,要在最后一道题拿到满分,确实需要超强的数学能力,甚至还得仰仗一点运气的加持。如果退而求其次,只做出第一小题,难度就低了很多——当然,能达到这个能力的学生肯定还是少数。

作为高考数学的压轴题,第一小题是常规的压轴题难度,数学能力强的学生只要时间不太紧张都有机会做出来;第二小题的难度往上抬升一级,只有极少数学生有机会拿到分数。这样的设计应该是比较合理的。如果压轴题有很多学生能拿到满分,反倒是难度偏低了

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