GMAT数学阶乘和整除相关的考法

我们知道如果整数a和b的乘积为c,则a和b都是c的因数或者约数,也可以说c能够被a或者b整除。而n的阶乘本身就是1到n所有整数的乘积,相应1到n所有整数都去整除n的阶乘。比如100!可以被1-100以内的任何整数整除。相应可以判断100!/2、100!/3都是整数。

但是如果在100!的基础上加1,则不能被2-100以内的任何整数整除。可以有两种考虑方式:1. 100!是2-100以内整数的倍数,现在多了1个,除以2就要多1个,余1,除以其他的也是余1,既然有非零的余数,显然就不是整除。2. (100!+1)/2可以拆分为100!/2+1/2,左边是个整数,右边是0.5,加在一起是个正儿八经的小数,显然不能整除。

既然100!+1不能被2-100以内的任何整数整除,但它作为一个大于1的正整数显然又会有质因数,那它的质因数肯定不能在2-100以内的质数里找到了,所以它最小的质因数也在100以上。

考试的时候还会考比如100!+2除以200余多少的问题,200可以拆成2*100,在100!里显然有2和100这两个因数,所以可以被200整除,所以余数取决于多出来的2,多2,所以余2。

之前还考过判断质数的题,比如100!+2, 100!+3, 100!+4, 100!+5, 问哪个是质数。哪个都不是,因为+2可以提取出2这个因数,+3可以提取出3这个因数,相应他们在1和自身以外都有2或者3之类的因数,所以都不是质数。

我们来看几个难题的例子。

PS:k为1 more than 2到29中所有质数的乘积,就是k=1+2*3*5*7*…*29。判断 I:k是30的倍数 II:k是29以内某个质数的倍数 III:k是29以外质数的倍数。哪些是对的。

解析:可以把x定义为2到29所有质数的乘积,所以k=x+1。x有2、3、5这三个因数,所以x是30的倍数,k比x多1,所以x不可能是30的倍数,除30余1,所以第一个不对。

x的质因数里面有2到29所有的质数,所以x是29以内所有质数的倍数,k比x多1,所以k除以2到29以内任意质数都会余1,所以不是29以内任意质数的倍数,所以第二个也不对。

关于第三个,考试的时候没有选项说三个都错的,所以很明显可以确定第三个一定对。对的原因是,k大于1,而且是整数,所以它不是质数就是合数,如果是质数的话它的质因数就是自己,如果是合数的话就意味着有其他质数是它的因数。又因为考虑第二个结果的时候我们知道2到29以内的任何质数都不是k的因数,但k又一定有质因数,所以k的质因数肯定是超过29的,所以k一定是29以上质数的倍数。以前也出现过一个说法是k的最小质因数大于29,这么说也是对的。

2. For every positive even integer n, the function h(n) is defined to be the product of all the even integers from 2 to n, inclusive. If p is the smallest prime factor of h(100) + 1, then p is

A. between 2 and 10 

B. between 10 and 20 

C. between 20 and 30

D. between 30 and 40

E. greater than 40

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