平面几何的三角方法:正弦定理

平面几何的三角方法:正弦定理

在上一篇文章《平面几何与图形的逻辑美》里,我主要介绍和讨论的是纯几何方法。同时,我也在文末概述了解析几何解法的思路。

事实上,解决几何问题,除了纯几何方法和解析几何,还有第三个工具——三角方法。上文中也有留言指出,文中所讨论的问题就可以用三角方法求解。

三角方法的核心是三角函数——通过三角函数建立长度和角度之间的关系。三角方法无需建立坐标系,所以不属于解析几何

平面几何和解析几何各自都有一套系统的概念,并且建立了庞大的公式和定理库。相对而言,三角方法的奠基概念就是几个三角函数,公式的数量也不多。

三角方法的这种“先天不足”,使得它不能像前两种方法那样,成为通用型的几何方法

三角方法中两个常用的重要公式是正弦定理余弦定理,本文将讨论前者。正弦定理刻划了三角形的三边和三角的关联性,并且形式很对称,是一个优美的公式,如下图。

平面几何的三角方法:正弦定理

通常在表述正弦定理时,不会写出这三个相等的比值的意义。事实上,这个公共值恰好是三角形的外接圆直径。为了证明这个性质,我们考虑圆O内任一条弦AB,如下图。

平面几何的三角方法:正弦定理

在圆周上另外任取一点C,然后连接AC和BC。我们下面证明

AB/sinACB=2R.

注意到弦AB把整个圆周分割为两段圆弧。当点C在同一段圆弧的不同位置取时,所得的ACB的角度都相等;然而,在两段圆弧上取点C所得的ACB的角度并不相等。事实上,上图中的ACB和AC'B互补,即

ACB+AC'B=180°.

由正弦函数的性质,互补的角的正弦值相等,即

sinACB=sinAC'B.所以我们可以不妨设ACB90°

平面几何的三角方法:正弦定理

连接AO和BO,则AOB=2ACB(同一条弦所对的圆周角是圆心角的两倍)。过O作AB的垂线交AB于点D。由于AO=BO,所以OD平分边AB和角AOB。再由正弦函数定义,

sinAOD=AD/AO.AD=AB/2AO=R。所以sinAOD=AB/(2R),另一方面,AOB=2AOD,所以ACB=2AOD,从而sinACB=AB/(2R).

我们把上面的结论完整表述如下:设AB为圆的任意一条弦,C为圆周上不同于A,B的另一点,则AB/sinACB=2R,其中R为圆的半径。

注意到,对任意三角形和它的外接圆,三角形的任一条边和它的对角正好对应上面命题中的弦AB和ACB由此即可推出正弦定理。

现在回到《平面几何与图形的逻辑美》一文中的问题。由于正弦定理建立了三角形的边、角和其外接圆直径的关联性,因此我们无需作出直径,而只要计算三角形的某一条边和其对角的正弦值的比。

平面几何的三角方法:正弦定理

如上图,连接AD和BD,则ABD是圆的内接三角形。利用勾股定理不难求出BD=17AD=25。根据已知条件,ABD的三个内角中,相对容易计算正弦值的是ABD。

由于ABD和BDC互补,所以sinABD=sinBDC。而sinBDC=15/17,因此

2R=AD/sinABD=85/3.

不难发现,当AB, BC, CD的长度取其他(合理的)数值时,上面的解法仍然适用。也就是说,前文中对这个问题推广后的一般问题

最后做一个简单的小结。

在这个几何问题上,三种方法都发挥了它们应有的效力,解答过程都很简洁。

平面几何(以及延伸出来的立体几何)是解决几何问题的经典工具,处理以多边形和圆为代表的基本几何图形的能力很强,并且展现出独特的艺术性和美感

然而,当人们的关注点开始转向更复杂的几何形状,例如螺旋线、二次曲线时,纯几何方法就变得捉襟见肘了,即使用上很多高难度技巧,也只能处理一些相对简单的情形。

解析几何是用代数工具系统性地解决几何问题的方案,其基本思想是建立直角坐标系,把几何对象和几何关系转换为关于坐标的代数表达

这种革命性的思想成功地突破了纯几何方法的瓶颈。并且,随着代数方法本身的不断发展壮大,也为拓展和丰富解析几何的理论提供了强大的动力。

三角方法,如前文所述,并非通用的几何工具。但对于特定条件的问题可以提供有别于前两种方法的独特思路。

三角函数作为一类特殊函数,本身可以建立起一套独立的理论,并与数学的其他理论体系相结合。几何学的三角方法就是一个典型的例子。此外,函数论中著名的傅里叶分析,也是在三角函数系上搭建起来的一个庞大的理论架构。

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