2018年英国物理奥赛BPhO Section2 Question3a题解析

2018 BPhO Section2 Question3a
British Physics Olympiad (BPhO) 是英国物理奥赛,分为两个 Sections,其中 Section2 共有 5 道大题,每道大题又包含几个不相关联的小题,难度按照小题顺序由易到难。参赛者只需在 5 道大题中选择 2 道自己有把握的作答即可,每道大题 25 分,两道大题共 50 分,这也是 Section2 的满分,BPhO 试卷总分为 100 分。

下面我们来看一下 2018 年 BPhO Section2 第3大题的 a) 小问,在看答案解析之前还是自己争取先做出来:

a) A particle is moving in a horizontal circle and is kept in its path by a string tied to a point at a height h above the centre of the circle.
(i) Find the period of rotation in terms of h and the gravitational field strength g, explaining the physics of your derivation in words.
(ii) If the tension in the string is three times the weight of the particle, find the length of the string l, in terms of h.
(5)

答案解析:解决 (i) 小问首先要在大脑中形成质点作圆周运动的图景,如下图所示:
2018 BPhO Section2 Question3a
用绳系于天花板 A 点的小球 B,以 O 点为中心做水平方向的圆周运动。题目中只告诉了我们 A点 到 O 点的竖直距离是 h,还有重力加速度 g,求圆周运动周期 T 与这两个物理量的关系。已知很少,那么解题过程中其他物理量大概率能被削掉。
这种运动问题,尤其是圆周运动,离不开受力分析,就画一下小球 B 的 Free-body diagram:
2018 BPhO Section2 Question3a
由上图可见,其实小球 B 在做圆周运动的过程中只受两个力,重力 mg 和绳的张力 T。由于小球在水平面上作圆周运动,没有竖直方向的运动,所以竖直方向受力一定为 0!那么我们将上图中绳的张力 T 分解到水平和竖直方向,分别得到 Tx 和 Ty,在竖直方向受力平衡,有 mg = Ty。

物体的合外力仅为水平方向的 Tx,这个力指向圆心,是径向力,由于没有圆周切线方向的力,所以推断这是个匀速圆周运动。Tx 也充当了物体做圆周运动的向心力,有:

2018 BPhO Section2 Question3a
式中 m 为小球质量,r 为水平圆周运动的半径,v、ω、T 分别表示匀速圆周运动的速度、角速度、和周期。由于求周期 T,我们就 focus 在周期 T 公式上。综上所述,水平、竖直两个方向得到如下两个公式:
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已知中给了 AO 的距离 h,而没给 BO 的距离 r,为了将 h 和 r,Tx 和 Ty 相互关联起来,我们需要巧妙地引入 AO 和 AB 之间的夹角 θ,如上图所示,在大三角形中,根据几何关系:

2018 BPhO Section2 Question3a (1)在受力分析的小三角形中,类似有:

2018 BPhO Section2 Question3a(2)联立公式 (1)、(2) 就有:

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(ii) 小问已知 T = 3mg,让求绳长 l 和高度 h 的关系。如果把上一问理解透了,那么这一问就很简单了。该小问给了力的三角形中两个力的关系,求大的几何三角形中两个边的关系,我们把上图挪下来:
2018 BPhO Section2 Question3a由上图,在力的直角三角形中,mg 就是 Ty 这个边,对应 θ 的邻边,T 则是 θ 的斜边,所以:

2018 BPhO Section2 Question3a再看上图大的几何三角形,相似地,h 对应 θ 的邻边,T 则是 θ 的斜边:
2018 BPhO Section2 Question3a所以:
2018 BPhO Section2 Question3a

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