AMC数学竞赛数论题例题解答

AMC不同于其他的数学比赛,它的体系环环相扣,颇有打怪升级的感觉。

对于中国学生来说,AMC 8/10/12,包括之后的AIME都是可以参加的,但再往上的USAMO则是为了选拔美国奥数国家队队员设立的,相当于我们国内的“国家集训队”,只有美国公民或美国/加拿大的合法居民可以参加。

而对于名校申请,特别是MIT、斯坦福、普林斯顿,光从AMC晋级AIME还不够,如果AIME成绩要达到晋级USAMO的成绩,则更有优势,因为每年晋级USAMO的学生人数不超过300人,是当年全美乃至全北美洲数学最强的学生,极其受到藤校的青睐。

随着参赛人数逐年增加,想在AMC中胜出越来越难,我们也为大家准备了AMC四大题型及解题秘笈。

AMC四大题型及解题秘笈

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题型三:数论题

数论是纯数学的分支之一,主要研究整数的性质,被誉为“最纯”的数学领域。卡尔·弗里德里希·高斯曾说:“数学是科学的皇后,数论是数学的皇后。”我觉得数论真的很像我一位学生说的,“为了思考问题而设立的问题”。研究数论的数学家确实是纯粹觉得数字本身很有趣(但这有何不能理解呢?就像生物学家也会觉得细菌很有趣),从而创立了很多数论的定理:

• 费马小定理

• 费马大定理

• 威尔逊定理

• 欧拉定理

• 孙子定理(中国余数定理)

数论在中国数学大纲里面没有系统的讲解,是我们学生最不熟悉的一个领域。以上定理用数学公式写出来都很抽象不容易理解。例如,指数循环节,也就是欧拉定理的一种推广,写出来是这个样子的:

AMC到底该如何备考?附四大题型及解题秘笈!

但是,我们只要知道所谓“数论”,就是讨论整数的规律。这些定理,其实就是前人总结出来的规律的通式。我们即使记不住,也推不出通式,还是可以在特例下面把规律去推理出来的。

2018年AMC10的B卷,这个出现在16题的位置还是挺难的。

AMC到底该如何备考?附四大题型及解题秘笈!

解题思路:这个题的正规解题方法要用到费马小定理和中国余数定理,如果能掌握这些当然很高超。但是即使不会这两个定理,也可以用几次WLOG(without loss of generality,不失去一般性)的特例推理,可以分别推出:

AMC到底该如何备考?附四大题型及解题秘笈!

从而把这个题解出来。

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