AMC数学竞赛排列组合及概率题例题解答

AMC不同于其他的数学比赛,它的体系环环相扣,颇有打怪升级的感觉。

对于中国学生来说,AMC 8/10/12,包括之后的AIME都是可以参加的,但再往上的USAMO则是为了选拔美国奥数国家队队员设立的,相当于我们国内的“国家集训队”,只有美国公民或美国/加拿大的合法居民可以参加。

而对于名校申请,特别是MIT、斯坦福、普林斯顿,光从AMC晋级AIME还不够,如果AIME成绩要达到晋级USAMO的成绩,则更有优势,因为每年晋级USAMO的学生人数不超过300人,是当年全美乃至全北美洲数学最强的学生,极其受到藤校的青睐。

随着参赛人数逐年增加,想在AMC中胜出越来越难,我们也为大家准备了AMC四大题型及解题秘笈。

AMC四大题型及解题秘笈

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AMC数学竞赛排列组合及概率题例题解答

题型四:排列组合及概率题

第四种题型是藤子老师个人最喜欢的,但也是很多同学觉得困惑的。

排列和组合是组合数学的基本概念,而概率又是由排列数和组合数进行“排列组合”,也就是加减乘除各种运算而得到的。只要概念清晰,方法系统化,可以说理论上一切的概率问题都可以计算出来。

在学习的初期阶段,或者对于简单的排列组合或者概率题,用“穷举法”,或者一些简单的计数方法,是允许的,但是如果一直保持这样,不能发展到熟练使用排列数和组合数的话,解题能力就会极大受到限制。

对于很多初学的同学,第一个难点是分不清排列数(Arrangement,简称A)和组合数(Combination,简称C)。A和C的本质区别在于:决策的顺序对结果有没有影响。

常见的排列A的例子 常见的组合C的例子
从一个班级里面选几个同学,让他们依次登台演出 从一个班级里面选几个同学,组成一个团体操队

在一堆书里面选出几本,然后放到书架上

从一堆书里面选出几本,放在包里带着

男同学和女同学各选出N人,一男一女配对跳华尔兹

男同学和女同学各选出N人,大家一起跳集体舞

在上表左边的例子中,先挑选谁后挑选谁对结果是有影响的;而在右边的例子中,先挑谁后挑谁对结果无影响,有影响的只是谁被挑了谁没被挑而已。

有了基本的排列数和组合数以后,接下来根据下表中的规则去匹配应该用哪种四则运算即可,对于复杂的概率题一定是多种运算相结合的。

加法 减法 乘法 除法
几种不同时发生的情景 扣除不同情景中相重叠,重复计算的部分 几个同时发生的事件 消除顺序(本该没有顺序,但在之前的计算中考虑顺序了)

2011年AMC10 A卷第21题,不太复杂的一道排列组合题。

AMC到底该如何备考?附四大题型及解题秘笈!

解题思路:首先,五个顶点我们视为不同的,所以对它们的涂色是有顺序的。关键是要把顺序排列好,还要把情况分解好。我们用下面的树形图来表示。把每一个分支的计数算出来,最后加和就是总数了。

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在学习初等数学的阶段,一定要注重概念的完全掌握理解,哪怕是简单的题,学习用正规的系统的方法去解答,才能有利于将来高等数学的学习。一个好的解题习惯养成不容易,但是坏的习惯一旦形成,就会很难改掉。

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