电流的微观方程是什么样的?

从微观的角度看,电流是如何形成的?

电流是由大量带电的电荷整体沿一个方向运动而形成的。这就好像是人流一样,是由人群的整体运动而形成。只不过人流我们看得见,但无论是电流还是其中每一个运动的电荷,我们都很难观测得到。
电流的微观方程

这些电荷既可以是上图中的正电荷,比如正三价的铁离子在溶液中的运动,也可以是负电荷,比如电子。传统定义中电流的方向 (Direction of Conventional Current) 与正电荷运动的方向相同,与负电荷运动的方向相反,那么上图中的电流方向必然是向右的。

生活中比较常见的电路中的电流主要是靠带负电的电子运动而形成,如下图:
电流的微观方程
带负电的电子从电源负极出发,在电源所形成的电场的作用下,为灯泡 (Lamp) 供电,并最终回到电源正极。

由于我们定义电流的方向是和负电荷运动的方向相反,所以上图中负电荷顺时针运动,那么传统电流的方向就是逆时针。

当然,电路中的电子个数肯定不只示意图中的六个,比如仅一立方厘米的铜中就含有大约 8.5 x 1022 个可自由移动的电子,这是一个超大的量级了!!

知道了电流的由来,我们下面就可以讲讲电流的定义和微观方程啦:

Current is the total charge flowing through a cross-section per unit time.

电流的定义就是单位时间内通过导线横截面积的电量,一秒钟内通过的电量越多,那么电流就越大。这就好像人流一样,一天内买票进入公园的人数越多,那么说明这个公园的人流就越大。

电流 I 的定义式为:
电流的微观方程
式中电流 I 的单位为安培 "A" (是基础单位哦!),电量的变化量 Δq 的单位是库伦 “C”,时间的变化量 Δt 的单位是秒 “s”,所以这三个单位的关系有:1 A = 1 C / s,也就是说 1 A 的微观含义是,在 1 s 内,有 1 C 的电量通过了导线横截面。1 s 内通过的电量越大,意味着电流的安培数也就越大。

那么如果电流是 0.5 A,请问在 2 s 内有多少电量通过导线横截面积呢?

答案是 1 C,我们只需把电流的公式变形为:
电流的微观方程
计算很简单,没什么技术含量。以上知识点主要是记住电流的定义,我们练一道题:

e.g. What is the definition of current?
(A) The potential difference across a component over the resistance of that component
(B) The power of a battery per unit voltage
(C) The number of charges passing through per unit time
(D) The rate of flow of charges

解析:这道题考察的是电流的定义,A 选项说的是 I = V / R 这个公式,公式本身没有错,但这不是电流的定义;类似的,B选项说的是 V = P / I 这个公式,电流确实等于功率除以电压,但这也不是电流的定义。C选项不正确是因为电流不是单位时间流过的电荷数量,而是电荷的总电量 total amount of charges,这个细微差别要注意。电流的定义是单位时间内通过导线横截面积的电量,它本质上衡量的是电量整体运动的快慢,所以正确答案是 D。

下面我们再深入一步,把 I = Δq / Δt 的右侧进行展开,换一种形式来表示。Δq / Δt 的内在含义是单位时间内通过导线横截面积的电量,这就和每个电荷的带电量 q,单位体积的电荷量 n,电荷的运动速度 v,还有导线的横截面积 A,这四个物理量有关了。具体是什么关系?希望同学们自己先研究一下,如果能够自行推导出来,效果是最好的。

这个推导过程还是用如下示意图理解比较好:

电流的微观方程

如上图,我们假设每个电荷的带电量是 q,可正可负,它们以速度 v 向左通过导线中横截面积为 A 的地方。在 Δt 的时间里导线中有总长度为 L 的电荷通过了左边的横截面处。那么在 Δt 时间内通过的:

- 电荷所占导线总体积是 V = AL;
- 电荷总数量是 N = nV = nAL,因为 n 是单位体积的带电量;
- 那么总电荷量就是  Δq = Nq = nALq

- 所以电流的微观方程还可表示为:
电流的微观方程
这个公式中最容易混淆的是每一个物理量的含义和单位,下面逐个从左到右介绍一下:
-  I 代表电流 (current),单位是 “A”;
-  n 代表单位体积所含能够自由运动的电荷数量,即电荷密度 (charge density),单位是 “m-3”。单位体积内,导体中所含自由移动电荷明显高于半导体或绝缘体,所以导体中的 n 比较大;
-  A 是导线横截面积,单位是“m2”,一般导线的横截面可看做是圆形,所以当题目中给出导线半径 R 时,我们也可通过 A = πR2,间接算得横截面积;
-  v 是电荷在导体中的整体移动速度,也称为 “drift speed”,单位是 “ms-1”;

-  q 是指单个电荷的带电量,如果没有明确指出,电路中一般是电子在导线中运动,所以这个 q 实际上就是基本电量,即 elementary charge,一个电子的带电量:
电流的微观方程
知识内容讲完了,最后我们来做道题:

e.g. A metal wire of diameter 2.0 mm has a current of 5.5 A.  There are 5.0 x 1028 charge carriers per unit volume (m-3) in the metal wire.  What is the drift speed of the charge carriers ?

题目中涉及到 drift speed,我们就首先想到 I = nAvq 这个公式,下面看看哪些物理量是可算的。

题目中给了金属导线的直径是 2.0 mm,那么半径是 1.0 mm,导线横截面积就有了,A = πR2 = 3.14 mm2 = 3.14 x 10-6 m2 。题目中又直接给出了电流 I = 5.5 A,和 charge density n = 5.0 x 1028 m-3。题目中虽然没有给每个电荷的带电量 q,但金属导线中能够自由移动的电荷显然是电子啊,所以题目中暗含着告诉我们 q = 1.60 x 10-19 C 。

现在  I = nAvq 公式中的 A、I、n、q 我们都有了,把公式简单变换一下就可求出 v :
电流的微观方程
因为已知给的是两位有效数字,所以你的答案也要是两位,不能多于两位了。最后发现金属导线中电荷的运动速度是 0.22 mm 每秒,也就是它们在导线中要五秒钟才能走 1 毫米的距离,感觉比蜗牛还慢有没有?!!

既然导线中电荷运动的那么慢,为什么我们平时一按开关,灯泡瞬间就亮了?

这是因为整个电路的各个位置都 “弥漫” 着大量的电荷,当我们按下开关时,整个电路中的电荷同时启动,瞬间带动灯泡发光!

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